elipse

por Suou. Qui 17 Mar 2016, 00:42

(x-2y+3)²+(3x+4y-1)² <=100
Como eu faço pra saber de cara que essa figura é uma elipse e nao uma hiperbole ?

por **xSoloDrop** Qui 17 Mar 2016, 21:13

Penso eu que é possível distingui-las a partir do sinal dos termos antes da igualdade. Caso ambos sejam positivo é uma elipse, e se um deles for negativo é uma hipérbole.

por **Carlos Adir** Qui 17 Mar 2016, 21:56

Creio que precise a rotação de eixos.
Vou meio direto pois os passos que "pularei" é simplesmente manipulação algébrica:
$\\ \mathrm{\left(x-2y+3 \right )^2+\left(3x+4y-1 \right )^2 \le 100} \\ \mathrm{10x^2 +20y^2+20xy-20y+0x-90 \le 0}$
$\mathrm{x^2 + 2y^2+2xy-2y-9 \le 0}$
Agora, seria tão bom se nossa equação não tivesse o termo "xy" para podermos agrupar em (x-x0)² e (y-y0)², mas já que não temos isso, então fazemos então a rotação de eixos coordenados:
$\\ \begin{bmatrix}\mathrm{cos \theta} & \mathrm{sen \ \theta} \\ \mathrm{-sen \theta} & \mathrm{cos \theta} \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}\mathrm{u} \\ \mathrm{v} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\mathrm{x} \\ \mathrm{y} \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases} \mathrm{x = u\cdot cos \theta+v \cdot sen \theta} \\ \mathrm{y = -u \cdot sen \theta + v \cdot cos \theta}\end{cases} \\ \\ \mathrm{x^2 = u^2cos^2\theta +v^2sen^2\theta+uv\cdot 2sen \theta cos\theta} \\ \mathrm{y^2 = u^2sen^2\theta +v^2 cos^2\theta-uv \cdot 2sen\theta cos\theta} \\ \mathrm{xy = (v^2 - u^2)\cdot sen \theta cos \theta + uv (cos^2\theta - sen^2 \theta)}$
Que substituindo na equação x²+2y²+2xy-2y-9 ≤ 0:
$\\ \mathrm{u^2(1+sen^2\theta) + v^2(1+cos^2\theta) +uv \cdot (cos 2\theta-sen \ 2\theta)+ 2(-u \cdot sen \theta + v \cdot cos \theta)-9 \le 0}$
Para nosso novo eixo coordenado(antes era xOy, agora é uOv), então não devemos ter o termo uv, pois caso contrário o que fizemos acima não terá nenhuma utilizade. Ou seja:
cos 2θ - sen 2θ = 0 ---> θ = pi/8 = 22,5º
Então, precisamos saber o valor do cosseno e seno desse angulo:
$\\ \mathrm{cos^2\frac{\pi}{8}=\dfrac{1+cos \frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}} \\ \mathrm{sen^2\frac{\pi}{8}=\dfrac{1-cos \frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{-1+\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}}$
Agora, basta apenas substituir o ângulo na equação que tem (u, v)(não vou substituir, vou "completar quadrados" com os ângulos assim mesmo, pois considero mais facil):
$\\ \mathrm{(1+sen^2\theta)\left(u^2 - 2u \cdot \dfrac{sen \theta}{1+sen^2\theta}+\left(\dfrac{sen \theta}{1+sen^2\theta} \right )^2 \right )+} \\ \mathrm{+ \left(1+cos^2\theta \right )\left(v^2 + 2u \cdot \dfrac{cos \theta}{1+cos^2\theta} + \left(\dfrac{cos \theta}{1+cos^2\theta} \right )^2\right ) +} \\ \mathrm{ + \left(\dfrac{-sen^2\theta}{1+sen^2\theta}+\dfrac{-cos^2\theta}{1+cos^2\theta}-9 \right ) \le 0}$
Que reescrevemos:
$\\ \mathrm{(1+sen^2\theta)\left(u- \dfrac{sen \theta}{1+sen^2\theta} \right )^2+ \left(1+cos^2\theta \right )\left(v + \dfrac{cos \theta}{1+cos^2\theta}\right )^2 \le \dfrac{19 +11sen^2\theta cos^2\theta}{(1+sen^2\theta)(1+cos^2\theta)} }$
Então, como temos que $\mathrm{1+sen^2\theta \ne 1+cos^2\theta \Leftrightarrow sen^2\theta \ne cos^2\theta}$ então, temos que se trata de uma elipse.

É muita conta chata, mas é o mesmo principio. Não sei se há uma resposta elegantes pra essa resposta. Mas pela análise da questão, podemos ver que se trata de uma elips inclinada em 22,5º ou pi/8 radianos.

Depois de ver a mensagem do xDropSolo:
Não sei se o que ele disse está correto, irei verificar se isso está realmente correto, caso eu descubra algo importante trarei.

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