Equação

por ALDRIN Ter 21 Dez 2010, 22:26

O quociente entre a maior e a menor raiz da equação

$\sqrt[9]{x}+\frac{\sqrt[9]{x}}{x}=\frac{17}{4}$ é:

por Viniciuscoelho Sáb 25 Dez 2010, 19:26

Não consegui achar as raízes desse polinômio:

por **luiseduardo** Sáb 25 Dez 2010, 21:19

A única maneira que achei foi usando "Brute force":

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E1%2F9+%2B+%28x%5E1%2F9%29%2Fx+%3D+17%2F4

Se você dividir as raízes encontradas irá encontrar um número bem grande.

por Viniciuscoelho Dom 26 Dez 2010, 10:55

Obrigado, Luis.

Isso quer dizer que só é possível achar essas raízes por cálculo numérico, visto que não são exatas... daí:
(1)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^1%2F9+%2B+%28x^1%2F9%29%2Fx+%3D+17%2F4

Dividindo as raízes reais:
$D=\frac{452368}{0,253103}\approx 1787288,17912$

(2)
Utilizando o artifício:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=4x^9+-17x^8%2B4+%3D+0

Obtém-se 3 raízes reais e 6 imaginarias.
Em que:
$\\\sqrt[9]{x}=a\\ Logo\,para\,valores\,reais\,de\,a,\,temos:\\ a'=-0,816418\rightarrow x=(-0,816418)^9=-0,161143 \\ a''=0,85842\rightarrow x=(0,85842)^9=0,253103\\ a'''=4,24999\rightarrow x=(4,24999)^9=452367,26$

Como são aproximações, percebe-se que duas raízes de "a" são iguais a de "x", daí:
$\\D'=D=\frac{a'''}{a''}=\frac{452367,26}{0,253103}=1787285,289$

$\\Se\, menor \,raíz \,é \,-0,161143, temos$

$D''=\frac{a'''}{a'}=\frac{452367,26}{-0,161143}=-2807241,146$

A questão que se coloca é:
qual é o resultado correto, e por que?

Abraços

por **luiseduardo** Dom 26 Dez 2010, 12:08

Realmente. Acho que tem razão, tentei fazer assim:

a = x^1/9

a + a/a^9 = 17/4
a + a^(-8 ) = 17/4

(Usando o Wolfram)

As soluções reais serão aquelas que encontrou.

Agora, realmente, mesmo se o Wolfram estivesse certo, não entendo qual o problema com o negativo.

Estranho Neutral

por Pablo Simões Ter 26 Jul 2011, 21:09

Up!

Esta questão é do Colégio Naval (1994)

As alternativas são:
(A)2²⁷
(B)2³²
(C)2³⁶
(D)2⁴⁵
(E)2⁵⁴

por **hygorvv** Qua 27 Jul 2011, 12:27

Eu acho que há algum erro na questão, ou sei lá. Não consegui, também.

por **abelardo** Qua 27 Jul 2011, 13:30

A equação é assim $\sqrt[9]{x}+\frac{\sqrt[9]{x^8}}{x}=\frac{17}{4}$

por **luiseduardo** Qua 27 Jul 2011, 14:31

Se a questão for como o abelardo mandou fica fácil achar as raízes que são:

x' = 262144
x'' = 1/262144

x'/x'' = (262144)² = 2^36

por PedroCunha Ter 14 Jan 2014, 21:52

Só para deixar o cálculo:

[9]√x + [9]√(x^8 )/x = 17/4
[9]√x + x^{8/9 - 1} = 17/4
x^{1/9} + 1/x^{1/9} = 17/4

x^{1/9} = a

a + 1/a = 17/4
a² - 17a/4 + 1 = 0
4a² - 17a + 4 =0
a = (17 +- 15)/8
a' = 4
a'' = 1/4

Voltando:

a' = x'^{1/9}
4 = x'^{1/9}
x' = 2^{18}

a'' = x''{1/9}
1/4 = x''^{1/9}
x'' = 1/2^{18}

x'/x'' = 2^{18}/{1/2^{18}} .:. 2^{36}

Att.,
Pedro

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