Lei de Coulomb - Física III

por GabrielBP Sex 19 Fev 2016, 22:58

Uma partícula de massa m e carga -q está situada na mediatriz de um segmento d. Ela encontra-se em equilíbrio devido à ação de duas forças de partículas de carga Q, cada uma situada em um extremo do segmento d. Mostre que se a partícula -q sofre um pequeno deslocamento y, y perpendicular a d, ela exerce movimento harmônico simples, verticalmente. Determine a frequência angular desse movimento.

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por **gabrieldpb** Dom 21 Fev 2016, 02:03

Observe a figura:

Lei de Coulomb - Física III 2ng945z

As componentes horizontais se cancelam, sobrando apenas as componentes verticais, logo:

F_R=-2F_e \cos{\theta}

Onde a força elétrica é dada por:

F_e=\frac{kQq}{y^2+\frac{d^2}{4}}

\cos{\theta}=\frac{y}{\sqrt{y^2+\frac{d^2}{4}}}

Logo,
F_R=-2\frac{kQq}{y^2+\frac{d^2}{4}}\frac{y}{\sqrt{y^2+\frac{d^2}{4}}}=-\frac{2kQqy}{\left ( y^2+\frac{d^2}{4} \right )^{\frac{3}{2}}}

Fatorando d²/4 no denominador:

F_R=-\frac{2kQqy}{\frac{d^3}{8}\left ( 1+\frac{4y^2}{d^2} \right )^{\frac{3}{2}}}=-\frac{16kQqy}{d^3\left ( 1+\frac{4y^2}{d^2} \right )^{\frac{3}{2}}}

Uma vez que y < < d, 4y²/d² será desprezível frente a 1, de forma que:

F_R=-\frac{16kQqy}{d^3}

Assim, partícula de massa m estará sujeita a uma força restauradora da forma Fr=-ky, onde

k=\frac{16kQq}{d^3}

A frequência angular é dada então por:

\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{16kQq}{md^3}}

Tem gabarito? Abraço!