Gravitação universal

(Uel)Considere um modelo simplificado da Via Láctea no qual toda a sua massa M, com exceção do sistema solar,está concentrada em seu núcleo, enquanto o sistema solar, com massa m, está em movimento com velocidade de módulo v = 200 km/s em órbita circular de raio r = 26 × 10^3 anos-luz, com relação ao núcleo galático.

Dados:

G = 7 × 10^-11 m^3kg⁻¹s⁻²

1 ano-luz = 9, 46 × 10⁵m

Com base nessas informações e utilizando os dados, considere as afirmativas a seguir.

I. No núcleo galático, existe um buraco negro supermassivo.

II. Uma estimativa do número de estrelas na Via Láctea será da ordem de 10¹¹ estrelas, se considerarmos que todas as estrelas da Via Láctea possuem a mesma massa que o Sol e que a massa do sistema solar é aproximadamente igual à massa do Sol, m = 2 × 10³⁰kg.

III. A massa da Via Láctea será ∼ 1, 5 × 10⁴¹ kg se considerarmos que a massa do sistema solar é aproximadamente igual à massa do Sol m = 2 × 10³⁰kg.

IV. O módulo da velocidade orbital do sistema solar será de 720000 km/h e, devido a esta grande velocidade,o sistema não é estável.

Assinale a alternativa correta.

a) Somente as afirmativas I e IV são corretas.

b) Somente as afirmativas II e III são corretas.

c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.

d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.

e) Somente as afirmativas I, II e IV são corretas


Por favor, preciso do comentário de cada alternativa, não consegui fazer a análise de nenhuma, ou pelo menos fiz e deu errado...

Muito obrigado!

Esse tipo de questão avalia a habilidade do aluno em analisar um conjunto de informações num processo em que é mais adequado encontrar erros mais evidentes.

I. No núcleo galático, existe um buraco negro supermassivo.

o buraco negro existe, mas não se pode depreender isso das informações dadas. Isso invalida a afirmação e podemos descartar todas as alternativas que a contém:

a) Somente as afirmativas I e IV são corretas.

b) Somente as afirmativas II e III são corretas.

c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.

d) Somente as afirmativas I, II e III são corretas.

e) Somente as afirmativas I, II e IV são corretas

IV. O módulo da velocidade orbital do sistema solar será de 720000 km/h e, devido a esta grande velocidade,o sistema não é estável.

o valor da velocidade está correto, mas não há como discutir a estabilidade. Isso descarta a alternativa IV:

b) Somente as afirmativas II e III são corretas.

c) Somente as afirmativas III e IV são corretas.


a alternativa correta é facilmente encontrada por exclusão. Tempo é "dinheiro".

Passei um bom tempo tentando resolver essa questão do modo matemático, e só consegui quando duvidei do dado 1 ano luz = 9,46.10^5m. Chequei e confirmei que, na verdade, é 9,46.10^15, o que me permitiu achar resultados coerentes com os itens propostos. Veja:

Igualando a fórmula da gravitação universal com da aceleração centrípeta temos:  

G.M/d² = V²/d
7.10^-11.M/(26.10^3.9,46.10^15)² = (2.10^5)²/(26.10^3.9,46.10^15)
M = 4.10^10.(26.10^3.9,46.10^15)/7.10^-11
M = 4.26.9,46.10^28/7.10^11
M =~ 140.10^39 = 14.10^40

M/m = 14.10^40/2.10^30 = 7.10^10 =~ 10^11

M + m =~ 1,5.10^41

Confirmando então os itens II e III

Muito obrigado aos dois! 
Me perdoem, mas não foi erro de digitação meu, no meu próprio livro o ano luz estava como na postagem... 


E como chegar na velocidade e 720 000km/h?

Simplesmente transformando unidades

V - 200 km/s = 200 km/(1/3 600 h) = 720 000 km/h

Muito obrigado novamente!

Nossa cara, a resolução do Kobalt é correta. 
Eu pensei justamente a mesma coisa. Mas não tive a coragem de começar os cálculos à mão, preferi acreditar que um vestibular não daria números tão "ingratos" para uma prova de vestibular; mas pelo visto é isso mesmo...

I. No núcleo galático, existe um buraco negro supermassivo.

COMENTÁRIO DO EUCLIDES:
"o buraco negro existe, mas não se pode depreender isso das informações dadas."

DÚVIDA:
Ainda que não possamos depreender isso das informações dadas, é real e verdadeiro que no núcleo galático, existe um buraco negro supermassivo. ?? ou o erro é só que não dá para confirmar isso com base nos dados da questão?

Certamente a massa de todas as estrelas da Via Láctea, concentradas juntas, é um buraco negro.

Mas o que significa buraco negro supermassivo? 
Se fosse um astrônomo fazendo a prova, ele saberia!!!
Mas, para os demais mortais que fazem a prova, os dados do enunciado são insuficientes para responder.