Determine o resto da divisão

Determine o resto da divisão de (21432)^13431 + (15123)^6781 por 7.
Grato.

Olá CrazyITA (ITA?)

Podemos determinar os restos das duas divisões e depois somá-los. Demonstrarei. 

(21432)^13431 = x mod(7)


Observe que 21432 = -2 mod (7), então:

-2^13431 = x mod(7)
-1.8^4477 = x mod(7)

Mas 8 = 1 mod(7), dessa forma:

-1 = x mod(7)

x deve ser igual a -1.

Façamos o mesmo com a outra divisão. 

(15123)^6781 = y mod(7)
15123 = 3 mod(7)
...
3^6781 = y mod(7)
9^3390.3 = y mod(7)

Mas 9 = 2 mod (7), logo

2^3390.3 = y mod(7)
8^1130.3 = y mod(7)

Já foi visto que 8 = 1 mod(7). Assim:

3 = y mod(7)

y deve ser igual a 3. 

O resto total deverá ser R = x+y = 2. Uma forma de escrever isso:

21432^13431 = 7q - 1, sendo q inteiro. 
15123^6781 = 7p + 3, com p inteiro. 

Somando as duas:

21432^13431 + 15123^6781 = 7(p+q) + 2, sendo p+q inteiro. O resto é 2.

Muito bom, obrigado!