Equação de Onda

por zoarmatrix Qua 03 Fev 2016, 23:24

Boa noite!!

Estou com dúvida na minha resolução desse exercício, pois não tenho o gabarito dele.

1-Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada em termos de uma função genérica h(x,t):
y(x,t)=(4,00mm)h[(30m^-1)x + (6,0s ^-1)t]

Pensei em resolver da seguinte forma :

v= ω/k => v= 6,0s^-1 / 30m^-1 = 0,2m/s

Está certo ?

por Convidado Qui 04 Fev 2016, 00:13

Oi amigo,

a questão quer que você faça a aplicação da equação de onda:

\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=v^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}

Seja y=4h[u(x,t)], onde u(x,t)=30x+6t

Assim,

\frac{\partial y}{\partial t}=4\frac{\partial h[u(x,t)]}{\partial t}=4\frac{\partial h(u)}{\partial u}\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=24\frac{\partial h(u)}{\partial u}

De novo em relação a t:

\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=24\frac{\partial h[u(x,t)]}{\partial t\partial u}=24\frac{\partial h[u(x,t)]}{\partial u\partial t}=24\frac{1}{\partial u}\left ( \frac{h[u(x,t)]}{\partial t} \right )

\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=24\frac{1}{\partial u}\left ( \frac{6h[u(x,t)]}{\partial u} \right )=144\frac{\partial^2h(u)}{\partial u^2}

Vamos derivar em relação a x:

\frac{\partial y}{\partial x}=4\frac{\partial h[u(x,t)]}{\partial x}=4\frac{\partial h(u)}{\partial u}\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=120\frac{\partial h(u)}{\partial u}

Novamente em x:

\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=120\frac{\partial h[u(x,t)]}{\partial x\partial u}=120\frac{\partial h[u(x,t)]}{\partial u\partial x}=120\frac{1}{\partial u}\left ( \frac{h[u(x,t)]}{\partial x} \right )

\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=120\frac{1}{\partial u}\left ( \frac{30 h[u(x,t)]}{\partial u} \right )=3600\frac{\partial^2h(u)}{\partial u^2}

Logo, substituindo na equação de onda:
144\frac{\partial^2 h(u)}{\partial u^2}=v^2\cdot 3600 \frac{\partial^2 h(u)}{\partial u^2}

v^2=\frac{144}{3600}

Ou seja, \mathrm{v=0.2\;m\cdot s^{-1}}

Observe atentamente a aplicação da regra da cadeia. Veja também que eu omiti os cálculos das derivas de u em relação a x e t, que podem ser calculadas diretamente.

Espero que tenha entendido, abraço!

por zoarmatrix Qui 04 Fev 2016, 16:17

Ajudou demais, ia ficar quebrando a cabeça e não iria achar essa equação da onda nunca... rsrs
Muito obrigado, abraços!!

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