Como fatorar esse polinômio do quarto grau?

a^4 + 3a³ + 4a² - 6a - 12

1) Tente achar uma raiz "a" como um divisor do termo independente.
2) caso não tenha, que é o caso, use raízes. No caso, √2.
3) Aplique briot-ruffini.

Testar as raízes inteiras que dividem o termo independente é sempre um bom primeiro caminho, mas quando nenhum desses testes funciona fica mais complicado. Testar raiz de 2, raiz de 3, raiz de 5 etc traz contas piores e vira questão de sorte.

Fatoração é pôr fatores comuns em evidência. Portanto, o trabalho nessa questão é enxergar alguma coincidência nos termos do polinômio. 

Se quebrarmos 4a² em 6a² - 2a², a mágica acontece:



O primeiro fator tem raízes √2 e -√2, o segundo fator não tem raízes reais.

Robson, ótima resolução. Obrigado pela dica também em relação ao teste das raízes... Não sabia desse pequeno detalhe.

Depois algumas horas, eu consegui resolver e fiz de forma análoga a você, só o trajeto que foi um pouco diferente:

Da expressão:
a^4 + 3a³ + 4a² - 6a -12

Chamei 4a² de 6a² - 2a²:

a^4 + 3a³ + (6a² - 2a²) - 6a - 12

Coloquei o - 2a² próximo do a^4, o - 6a próximo do 3a³ e o 6a² próximo do -12:

(a^4 - 2a²) + (3a³ - 6a) + (6a² - 12)

Fazendo fator comum pra cada par:

a².(a² - 2) + 3a.(a² - 2) + 6.(a² - 2)

Agrupando:

(a² - 2).(a² + 3a + 6)

Transformando o a² - 2 em produto da soma pela diferença:

(a - \/2).(a + \/2).(a² + 3a + 6)


OBS: É esse o gabarito, esqueci de colocar na postagem. De qualquer forma, sua resolução continua correta.


A partir dela, pude perceber que existe uma relação entre os termos a^4 + 3a³ e -6a - 12. O desmembramento do 4a² serve justamente pra fazer com que apareça dois trinômios com o fator em comum.

Eu não entendo uma coisa: vi em diversos lugares que a forma fatorada de um polinômio pode ser dada por P(x) = A (x-r1) (x-r2) (r-r3)...

O que seria esse "A"?? E por que ele não aparece nesse exercício?

carolzinhag3 escreveu:Eu não entendo uma coisa: vi em diversos lugares que a forma fatorada de um polinômio pode ser dada por P(x) = A (x-r1) (x-r2) (r-r3)...

O que seria esse "A"?? E por que ele não aparece nesse exercício?

Imagino que esse seja um termo comum a todos os termos fatorados, por exemplo, se todos os termos fossem múltiplos de 2, esse 2 poderia ser colocado em evidência no início, e portanto, esse 2 seria o teu A.

O termo A é o coeficiente do termo de maior grau e r1, r2, r3 as raízes

Exemplo: P(x) = 2.x² - 5.x + 2 ---> A = 2

Raízes ---> x = [5 ± √(5² - 4.2.2)]/2.2 ---> x = (5 ± 3)/4 ---> x = 2 e x = 1/2

P(x) = 2.(x - 2).(x - 1/2) ---> Polinômio fatorado

Melhorando um pouco: P(x) = 2.(x - 2).[(2x - 1)/2]  ---> P(x) = (x - 2).(2.x - 1)

Muito obrigada!!