UFRGS (2016)

por pmanfredo Ter 19 Jan 2016, 15:27

Um desenhista foi interrompido durante a realização de um trabalho, e seu desenho ficou como na figura abaixo. Se o desenho estivesse completo, ele seria um polígono regular composto por triângulos equiláteros não sobrepostos, com dois de seus vértices sobre um círculo, e formando um ângulo de 40^o , como indicado na figura.
Quando a figura estiver completa, o número de triângulos equiláteros com dois de seus vértices sobre o círculo é
a) 10 b)12 c) 14 d) 16 e)18

por **Elcioschin** Ter 19 Jan 2016, 17:35

Sejam A, B as extremidades da base do triângulo equilátero do meio, apoiada na circunferência e E o seu vértice superior.

Trace, pelo ponto médio M de AB a mediatriz de AB, que passa por E. Marque, no prolongamento de ME, o ponto O, centro da circunferência.

Trace OA e OB ---> OÂE = O^BE = 40^o/2 = 20^o

BÂE = A^BE = AÊB = 60^o

OÂB = O^BA = 80^o

OÊA + OÂB + O^BA = 180^o ---> OÊA + 80^o + 80^o = 180^o ---> OÊA = 20^o

OÊA é angulo central ---> n = 360^o/20^o ---> n = 18

por **raimundo pereira** Ter 19 Jan 2016, 19:05

outro modo:
O âng. interno do polígono é Ai=60+60+40=160°
O âng. int de um polígono regular é dado por ai=(n-2).180/n
160=(n-2).180/2---->n=18
Se o polígono tem 18 lados , pode ser construido 18 triângs. equiláteros.

por **Christian M. Martins** Dom 10 Abr 2016, 06:21

Como você sabe que os ângulos OÂE e O^BE valem 20°, Élcio?

O resto da solução, para mim, é bem intuitivo, fácil de se deduzir; só não consegui encontrar esses ângulos em questão.

por **Elcioschin** Dom 10 Abr 2016, 10:15

Christian

Sejam C, V, N o vértice direito, o superior e o ponto médio de BC do triângulo da direita

O centro O da circunferência é o ponto de encontro dos prologamentos das mediatrizes ME e NV

O raio OB é bissetriz do ângulo E^BV = 40º ---> E^BO = V^BO = 20º

por **Christian M. Martins** Dom 10 Abr 2016, 13:19

Fiz a figura que você imaginou, entendi que o centro da circunferência é o ponto de encontro dos prologamentos das mediatrizes, mas não consigo ver o porquê do raio OB ser bissetriz de E^BV.