Triangulo área

Considere o triangulo abc, tal que A(0,0), B(1,1) e C(2m,0), com m>0. A reta y=m.x divide esse triangulo em dois triângulos iguais de mesma área. Podemos afirmar que m é igual a:


obs: não tenho gabarito.

Podemos achar a equação da reta que liga B a C:
y = (1-0)/(1-2m)*(x-2m)+0
Ou, a equação pode ser dada por:
x-y(1-2m)=2m

Podemos achar a interseção com a reta y=mx:
x-mx(1-2m)=2m
x = 2m/[1-m(1-2m)]
Com isso, achar y:
y=2m²/[1-m(1-2m)]

Sendo D o ponto achado, então podemos calcular a área do triângulo ACD:
Area1 = base x altura / 2 = 2m * 2m²/[1-m(1-2m)] / 2 = 2m³/[1-m(1-2m)]

E a área do triângulo ABC será dado por:
Area2 = base x altura / 2 = 2m * 1 / 2 = m

Agora, a área do triângulo menor deve ser a metade do grande.
Area1 / Area2 = 1/2



Como diz o enunciado, temos 2m-1=0 ---> m=1/2

vivixp123 escreveu:Considere o triangulo abc, tal que A(0,0), B(1,1) e C(2m,0), com m>0. A reta y=m.x divide esse triangulo em dois triângulos iguais de mesma área. Podemos afirmar que m é igual a:

outro modo:

reta r: y = m.x  --->  r passa pela origem  ---> r passa por A(0, 0)
m > 0  --->  C(2m, 0) está nos x positivos  ---> o triângulo ABC fica no primeiro quadrante.
r divide o triângulo ABC ao meio  --->  r contém a mediana relativa ao lado BC, ou seja, passa pelo ponto médio do segmento BC.

Seja D(xD, yD) o ponto médio de BC.
B(1, 1) e C(2m, 0)
-->  xD = (xB + xC)/2 = (1 + 2m)/2
--> yD = (yB + yC)/2 = (1 + 0)/2 = 1/2 ......... sempre teremos  yD=1/2.

EDIÇÃO

Obtendo a equação da reta que passa por A e D (que é a mesma reta r do enunciado), temos:
y = x/(2m+1)
Mas, comparando com a reta fornecida pelo enunciado, y = m.x, temos:
m = 1/(2m+1)
2m² + m - 1 = 0
m = -1 ......... não serve porque m > 0, pelo enunciado
m = 1/2

Olá Medeiros, acho que houve um problema na resolução. O ponto D nem sempre terá ordenada 1/2. Caso fosse, realmente a resposta estaria correta.
O ponto D varia também conforme m, segundo a expressão y=2m²/[1-m(1-2m)]
Um exemplo é para m=3/4, o qual dá o valor de y=9/11. A imagem é abaixo:

Carlos Adir,

se a reta y = m.x (chame-mo-la de r) -- cuja eq. a coloca passando pelo vértice A(0, 0) que coincide com a origem -- divide o triângulo em dois de mesma área então, forçosamente, contém a mediana relativa ao lado BC, logo passa pelo ponto médio de BC. Seja D este ponto médio.
xD = (xB + sC)/2
yD = (yB + yC)/2 = (1 + 0)/2 = 1/2 ......... sempre.

Não estudei sua primeira mensagem. Se, na segunda, o seu desenho está em escala, a reta desenhada NÃO divide ao meio o triângulo ABC !

Como disse no ADENDO da minha mensagem acima, este enunciado tem erro.

Pode ser, também, que o erro seja a eq. de r, que deveria ser do tipo y = m.x + k ; situação em que r não passaria pela origem. De qualquer forma, estou sem tempo e não vou procurar a correção para esse erro do enunciado.

Porém você está coberto de razão quando calcula m = 1/2. Vou editar minha primeira mensagem -- a fiz na pressa e de cabeça quente e isso nunca dá certo -- para deixar uma outro modo de solução.