Olimpiada (divisibilidade)

por John von Neumann jr Sex 01 Jan 2016, 21:49

Encontre todos os inteiros positivos n tais que n + 2009 divide n**2 + 2009 e n + 2010 divide n**2 + 2010.

por Pedro Prado Seg 11 Jan 2016, 09:22

Vou tentar explicar da melhor maneira possível:
Tomemos a expressão
\\\\\frac{n^2+2009}{n+2009}
Vamos somar 2009^2 no numerador e ao mesmo tempo sutrair esse valor do mesmo,logo:
\\\\\frac{n^2+2009+2009^2-2009^2}{n+2009}, justo, não?!

Repare que podemos dividir nossa expressão em duas partes
\\\\\frac{n^2-2009^2}{n+2009}+\frac{2009+2009^2}{n+2009}, certo?
Perceba que (n^2-2009^2)/(n+2009) é inteiro se n é inteiro, pois ao simplificarmos vai dar n-2009, note ainda que 2009+2009^2=2010*2009, assim nossa condição para que
\\\\\frac{n^2+2009}{n+2009}
seja inteiro é que:
\\\\\frac{2010*2009}{n+2009}
seja inteiro. Analogamente para a 2ª expressão
\\\\\frac{n^2+2010}{n+2010}
temos que 2011*2010/(n+2010) deve ser inteiro
Como n>0-------> n+2010=2011k------->n+2009=2011K-1------>n+2009=2011(k-1)+2010
-----------agora basta analisar as possibilidades para n+2009 e ver qual dá resto 2010 na divisão por 2011---------
Tomemos
\\\\\frac{2010*2009}{n+2009}

n>0------->n+2009=2010*Q, onde 2009 é divisível por Q

n+2009=2010-------------->resto 2010
n+2009=2010*7----------->resto 2004
n+2009=2010*41---------> reto 1970
n+2009=2010*49--------->resto 1962
n+2009=2010*287-------->resto 1724
n+2009=2010*2009------->reso 3

A única solução é n=1

Para fazer essas contas sem um trabalho astronômico você pode usar o seguinte:
2010*k-2011*(k-1)=Resto
2010*k-(2010+1)*(k-1)=Resto
2010*k-2010k-k+2010+1
Resto=2010-k+1, onde k=1, k=7,k=41....
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Espero ter ajudado, dúvidas é só perguntar, não tenho certeza mas acho que está certo.

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