Olimpíada do Irã

Prove que existem infinitos números naturais n tal que n não possa ser escrito como a soma de dois inteiros positivos com fatores primos menores que 1394.

Isso tá pra lá de Teerã !!! :geek: :scratch: :drunken: !!!

Dê uma lida em Euclides ( o oficial ! ), a obra Elementos, livro IX, proposição 20.

Sítio em inglês:
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX20.html

Wikipedia em Inglês:
 https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_theorem



PDF em Inglês e grego:
http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf

PDF em português década de (19...) 40:
http://www.dominiopublico.gov.br/download/texto/be00001a.pdf

Isso aí é pra começar a entender nosso caminho até Mahakesh ...

@Edit

Deixei de verificar um caso para essa resolução.

Refletindo um pouco eu poderia ter usado o teorema chinês dos restos para construir um número que satisfaz o enunciado.

Teorema: Se m1, m2, m3, ..., mn são inteiros primos entre si dois a dois, e a é um inteiro qualquer, então o sistema:

a Ξ a1 (mod m1)
a Ξ a2 (mod m2)
a Ξ a3 (mod m3)
...
a Ξ an (mod mn)

Tem solução.

Dessa forma o nosso objetivo é construir um dos inteiros que irá compor n, com fatores primos maiores que 1394.

Pegue os números primos

1394 < p1 < p2 < p3 < ... < pn

E o sistema


n - 1 Ξ 0 (mod p1)
n - 2 Ξ 0 (mod p2)
n - 3 Ξ 0 (mod p3)
...
n/2 Ξ 0 (mod pn)

(Pegue n par)

Existe solução, pois claramente os módulos são primos entre si, dessa forma, haverá dois inteiros positivos que satisfaz o enunciado, pois fazendo um dos inteiros a no seguinte intervalo.

n/2 ≤ a ≤ n - 1

n = (n - a) + a

a terá um divisor primo maior que 1394, assim eu posso ficar construindo infinitos inteiros n adicionando um novo primo maior que o último primo adicionado, o que conclui o que queríamos provar.

Boa solução