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Olimpíada Alemã de Matemática - Divisibilidade

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Resolvido Olimpíada Alemã de Matemática - Divisibilidade

Mensagem por Perceval Qui 10 Jun 2021, 13:43

Sejam m e n dois inteiros primos entre si. Prove que se n+m é um divisor de n [latex]n^2+km^2[/latex], então n+m é um divisor de k+1.


Última edição por Perceval em Dom 13 Jun 2021, 18:54, editado 1 vez(es)
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Resolvido Re: Olimpíada Alemã de Matemática - Divisibilidade

Mensagem por SilverBladeII Qui 10 Jun 2021, 18:00

notação: (a, b)=mdc(a, b)
n²+km²=n²-m²+(k+1)m²=(n-m)(n+m)+(k+1)m²
n+m divide (n-m)(n+m), portanto
n+m | (k+1)m²

além disso
(n+m, m²)=(n+m, m²-m(n+m))=
=(n+m, nm)=(n+m, n)(n+m, m)=
=(m, n)(n, m)=1,
portanto n+m | k+1
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