Quadrado e triângulo

por **Adam Zunoeta** Qui 25 Nov 2010, 18:58

Dois quadrados de lado L estão, inicialmente, perfeitamente sobrepostos. O quadrado de cima é
branco e o de baixo, vermelho. O branco é girado de um ângulo θ em torno de seu centro O, no
sentido anti-horário, deixando visíveis quatro triângulos vermelhos, como mostra a figura a seguir.
Quadrado e triângulo Figurab

Determine a soma das áreas dos quatro triângulos vermelhos em função do ângulo θ .

por **Elcioschin** Qui 25 Nov 2010, 20:05

Para θ = 0º ------> S = 0
Para θ = 90° -----> S = 0
Para θ = 45º -----> S é máxima ----> Smáx

Isto sugere uma função do tipo -----> S = Smáx*sen(2θ)

Falta calcular Smáx. Para isto basta desenhar uma figura para um ângulo de 45º. Neste caso os triângulos vermelhos serão iguais aos triângulos brancos, isto é, a figura formada corresponde a uma estrela de oito pontas.

A altura h de cada um destes triângulos é dada pela metade da diferença entre a diagonal D e o lado L:

h = (D - L)/2 ----> h = (L*V2 - L)/2 ----> h = L*(V2 - 1)/2

A base b deste triângulo, situada sobre o lado do quadrado vale ----> b = 2*h

A área máxima dos quatro triângulos vale ---> Smáx = 4*b*h/2 ---> Smáx = 2*(2*h)*h ----> Smáx = 4*h²

Smáx = 4*[L*(V2 - 1)/2]² ----> Smáx = 4*L²*(3 - 2*V2)/4 ----> Smáx = L²*(3 - 2*V2)

E finalmente

S = Smáx*sen(2θ) -----> S = L²*(3 - 2*V2)*sen(2θ)

por **luiseduardo** Qui 25 Nov 2010, 20:14

Caiu uma questão muito parecida na segundo fase da OBM. Acho que foi do ano passado.

por **Elcioschin** Qui 25 Nov 2010, 21:49

Balanar

Você tem o gabarito e/ou a solução para podermos confirmar?

por **Adam Zunoeta** Qui 25 Nov 2010, 22:30

Questão da UFRJ / 2010.
Não tenho o gabarito assim que eu achar eu posto, ou confirmo a resolução.

por **Adam Zunoeta** Qui 25 Nov 2010, 22:41

Achei na net.
>>>índice 4

por **Elcioschin** Sex 26 Nov 2010, 10:20

Balanar

Obrigado pela indicação de outra solução:

S = L²*sen(2θ)/(1 + senθ + cosθ)²

Vou mostrar que, embora diferente da minha conduz ao mesmo resultado

Para θ = 45º ----> S = L²*sen90º/(1 + sen45º + cos45º)² ---->

S = L²/(1 + V2/2 + V2/2)² ----> S = L²/(1 + V2)² ----> S = L²/(3 + 2*V2) ---->

S = L²*(3 - 2*V2)/(3 + V2)*(3 - 2*V2) ----> S = L²*(3 - 2*V2)

Veja que este valor corresponde exatamente ao valor de Smáx da minha solução!