Fuvest-SP tetraedro circunscrito e mais.

por Victor N. Sex 20 Nov 2015, 17:07

O cubo ABCDEFGH possui arestas de comprimento a. O ponto M está na aresta AE e AM = 3⋅ME.

Fuvest-SP tetraedro circunscrito e mais. Work160

Calcule:

a) O volume do tetraedro BCGM.
b) A área do triângulo BCM.
c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento CM

por pedrim27 Sex 20 Nov 2015, 20:10

Considerando a aresta do cubo como "a" ,temos:
A)
AM=(3a)/4 e ME=a/4
V=1/3(Área de BCG * a)
V=1/3((a*a)/2*a)
V=a³/6
B)
(BM)²=(AB)²+(AM)²
(BM)²=a²+(3a/4)²
BM=5a/4
Área de BCM:
(BM*BC)/2
(5a/4 * a)/2=A
A=5a²/8
C)
(CM)²=(BM)²+(BC)²
(CM)²=(5a/4)²+a²
(CM)²=(a√41)/4
Distância B até o segmento CM é a altura relativa à hipotenusa do triangulo BCM, portanto:
Hip*altura =cateto1 * cateto2
(a√41)/4*h=5a/4*a
h=(5a√41)/√41