Integração por substituição trigonométrica
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Integração por substituição trigonométrica
por Ruan Ricardo Qua 18 Nov 2015, 01:11
Resolver a integral usando a técnica de integração por substituição trigonométrica:
∫ 1 / [x√(9 + x²)dx]
∫ 1 / [x√(9 + x²)dx]
Ruan Ricardo- Padawan
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Re: Integração por substituição trigonométrica
por maico33LP Qui 19 Nov 2015, 17:55
Seja x = 3tant. Então, dx = 3sec²t.dt. Mais ainda, (9+9.tan²t)^1/2 =3.sect.
Então, fica: ∫ 3.sec²t/[3.secx.3tant]dt = 1/3∫sect/[tant]dt.
sect./tant = 1/sent = csct.
Então, 1/3∫csct.dt = - 1/3.ln |csc t + cot t| + C
Agora precisamos determinar t, a fim de voltar a variável original x.
x = 3tant, então tant = x/3.
Assim, pelo triângulo retângulo, o sent = x/(x^2+9)^1/2. Então:
csct = (x^2+9)^(1/2)/x
cotant = 3/x.
Assim, a ∫ 1 / [x√(9 + x²)dx] = - 1/3.ln |(x^2+9)^1/2/x + 3/x| + C.
Então, fica: ∫ 3.sec²t/[3.secx.3tant]dt = 1/3∫sect/[tant]dt.
sect./tant = 1/sent = csct.
Então, 1/3∫csct.dt = - 1/3.ln |csc t + cot t| + C
Agora precisamos determinar t, a fim de voltar a variável original x.
x = 3tant, então tant = x/3.
Assim, pelo triângulo retângulo, o sent = x/(x^2+9)^1/2. Então:
csct = (x^2+9)^(1/2)/x
cotant = 3/x.
Assim, a ∫ 1 / [x√(9 + x²)dx] = - 1/3.ln |(x^2+9)^1/2/x + 3/x| + C.
maico33LP- Matador
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