gravitação fuvest 1997

(fuvest 1997)Dois satélites artificiais A e B descrevem órbitas circulares no plano equatorial da Terra. O satélite A está a uma distância RA do centro da Terra e estacionário com relação a um observador fixo em um ponto do equador da Terra.
 a) Esse mesmo observador vê o satélite B passar por uma mesma posição, numa vertical sobre ele, a cada dois dias, sempre à mesma hora. Quais os dois possíveis valores da velocidade angular de B, no referencial inercial em relação ao qual a Terra gira em torno de seu eixo com um período de 24 h? Expresse o resultado em rd/h.
 b) Calcule, em função de RA, os valores dos raios das órbitas correspondentes às velocidades angulares encontradas no item anterior.

Se está estacionário, o período de rotação do satélite é o mesmo periodo de rotação da terra.
Sabemos que:
(I) v . T = 2 pi . R
Força centrípeta = mv²/R
Força gravitacional = GMm/R²
Os dois são iguais, logo:
(II) mv²/R = GMm/R²
Isolando v em (I) e substituindo em (II) obtemos:
R³/T²=GM/[4(pi)²] = constante = k
k ≈ 1,0 . 10^(13) m³/s² ------  Para a terra
R = ∛[T² . k]
Se substituirmos T = 24 h = 24 . 3600 s obtemos:
Ra ≈ 42 231 km
a) Se ele vê passando de dois em dois dias, então pode ocorrer o seguinte:
O periodo de rotação do satelite B é o dobro de A.
Logo, Rb = (∛4)Ra ≈ 67 038 km
A velocidade angular não importa o raio. Contudo, enquanto o planeta dá duas voltas o satelite dá uma. Logo, 2pi/(48 h) = pi/24 rad/s
b) respondida acima.

sim correto, porem pede dois possíveis valores para velocidade angular
obs: esse eu também achei... porem o outro que é pi/8 rad/s não tenho ideia de como chegar.
obrigado!

Ah sim, desculpe-me.
A outra possibilidade ocorre quando o satélite move-se do outro sentido.
Isso é, enquanto a terra vai para o leste, o satélite vai para oeste.
Assim, na primeira noite(no dia anterior ele viu), o satélite está do outro lado do globo.
Dê uma olhada neste link:
Orbita
Os raios não estão corretos, mas para termos uma noção, o ponto B representa o satélite.

ah sim muito obrigado

Também tenho dúvidas em como se chegar nesse  pi/8 rad/s  e não entendi como se chega nele.

VestibulandoCTBA22 escreveu:Também tenho dúvidas em como se chegar nesse  [size=35]pi/8 rad/s  e não entendi como se chega nele.[/size]

Boa noite, VestibulandoCTBA22

Pois bem, vamos supor que ambos satélites estejam orbitando em sentidos opostos, vamos calcular a velocidade relativa entre os satélites:

ωA + ωB = ωRel

(π/12) + (π/24) = π/8 rad/h

Isso quer dizer que, no referencial de um deles, por exemplo o A esta parado e o B se aproxima com  π/8 rad/h e vice-versa.

Agora calculando a velocidade relativa com ambos em mesmo sentido; 

ωA -  ωB = ωRel

ωA -  ωRel = - ωB

Vamos chegar em:

(π/12) - (π/ = (π/24) rad/h

Repare que descobrimos a velocidade já calculada pelo colega Carlos Adir.

Isso nos mostra que, em sentidos opostos o satélite B pode ter velocidade angular de π/8 rad/h e em sentidos iguais pode ter (π/24) rad/h.

Se não ficou claro, me fala.