[Resolvido]Questão 5 - Matemática Discurssiva - IME 2016

por **Carlos Adir** Seg 26 Out 2015, 21:08

Determine o conjunto solução da equação:

$(sen \ x)(1+tg \ x \ tg \dfrac{x}{2}) = 4- cotg \ x$

Temos que:
$\\ \mathrm{sen \ 2x = 2 sen \ x \cdot cos \ x = 2 \cdot \dfrac{sen \ x}{cos \ x} \cdot cos^2 \ x = \dfrac{2 \cdot tan \ x}{sec^2 \ x}=\dfrac{2tan \ x}{1+tan^2 \ x}}$
Assim, se chamarmos:
$\\ \mathrm{t = tan \ \dfrac{x}{2} \Rightarrow sen \ x = \dfrac{2t}{1+t^2}; \ cos \ x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}; \ tan \ x = \dfrac{2t}{1-t^2}}$
Logo:
$\\ \mathrm{1 + tan \ x \cdot tan \dfrac{x}{2}= 1 + \left(\dfrac{2t}{1-t^2} \right )\cdot t = \dfrac{1-t^2+2t^2}{1-t^2}=\dfrac{1+t^2}{1-t^2}=\dfrac{1}{cos \ x}}$
Portanto, podemos dizer que:
$\\ \mathrm{sen \ x \left(1+tan \ x \cdot tan \dfrac{x}{2} \right )=4 - cot \ x} \\ \mathrm{sen \ x \cdot \dfrac{1}{cos \ x} = 4 - \dfrac{cos \ x}{sen \ x}} \\ \mathrm{\dfrac{sen \ x}{cos \ x}+ \dfrac{cos \ x}{sen \ x}=4} \\\\ \mathrm{\dfrac{\overbrace{\mathrm{sen^2 \ x + cos^2 \ x}}^{1}}{\underbrace{\mathrm{2sen \ x \cdot cos \ x}}_{sen \ 2x}} = 2} \\ \mathrm{\dfrac{1}{sen \ 2x} = 2 \Rightarrow sen \ 2 x = \dfrac{1}{2}=sen \left(2k\pi + \dfrac{\pi}{2}\pm \dfrac{\pi}{3} \right )}$
$\\ \mathrm{2x = 2k\pi + \dfrac{\pi}{2} \pm \dfrac{\pi}{3}} \\ \mathrm{x_1 = k_1 \pi + \dfrac{\pi}{12}} \\ \mathrm{x_2 = k_2 \pi + \dfrac{5\pi}{12}} \\ \mathrm{k_1, \ k_2, \ k \in \mathbb{Z}}$
Outra maneira de provar que seno é dado por sen x = 2t/(1+t²) é como mostra no link abaixo:
Demosntrações de identidades trigonométricas

por **LPavaNNN** Seg 26 Out 2015, 21:40

só complementando, existem varias maneiras, outra entre elas, seria transformar tgx em senx/cosx e tg(x/2) em sen(x/2)/cos(x/2)

assim logo de cara, ali no parenteses, 1+tgx.tg(x/2) , ficaria 1/cosx .

considero essa opção mais viável, com menos trabalho algébrico .

por **Carlos Adir** Seg 26 Out 2015, 21:49

Como abaixo:
$\\ \mathrm{1+tan \ x \cdot tan \dfrac{x}{2}=1+\dfrac{sen \ x \cdot sen \dfrac{x}{2}}{cos \ x \cdot cos \dfrac{x}{2}}=\dfrac{cos \ x \cdot cos \dfrac{x}{2}+sen \ x \cdot sen \ \dfrac{x}{2}}{cos \ x \cdot cos \ \dfrac{x}{2}}=} \\ \mathrm{=\dfrac{cos \left(x- \dfrac{x}{2} \right )}{cos \ x \cdot cos \ \dfrac{x}{2}}=\dfrac{cos \dfrac{x}{2}}{cos \ x \cdot cos \dfrac{x}{2}}=\dfrac{1}{cos \ x}}$

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