Derivadas

Calcular a derivada f(x) = 2^x pela definição, em p  R qualquer.

[latex]\begin{align*} f'(x) &= \lim_{h\to 0} \dfrac{a^{x+h}-a^{x}}{h}\\~\\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{a^{x}\cdot\left(a^h-1 \right )}{h} \\~\\ &=\lim_{h\to 0} \dfrac{a^{x+h}-a^{x}}{h}\\~\\ &= a^{x}\lim_{h\to 0} \dfrac{\left(a^h-1 \right )}{h} \\~\\ &= a^{x}\lim_{h\to 0} \dfrac{\left(e^{h\ln a}-1 \right )}{h} \\~\\ \end{align*}[/latex]

Usando u = h lna:

    [latex]\begin{align*} f'(x) &= a^{x}\lim_{h\to 0} \dfrac{\left(e^{h\ln a}-1 \right )}{h} \\~\\ &=a^{x}\lim_{u\to 0} \dfrac{\left(e^{u}-1 \right )}{\frac{u}{\ln a}} \\~\\ &=a^x \ln a \lim_{u\to 0} \dfrac{\left(e^{u}-1 \right )}{u}\\ &= a^x \ln a \end{align*}[/latex]

O último límite é igual a 1 quando u tende a zero (vem da definição de e).