Volume de Pirâmide

por **Eduardo Sicale** Sex 12 Nov 2010, 15:44

Numa pirâmide 0ABC de base triangular (ABC), a reta 0C é perpendicular ao plano 0AB, sendo 0C = a. Os três ângulos das faces do triedro de vértice C medem 60°. Calcular o volume da pirâmide.

Resposta: V = a³*V2/3

Obrigado !!!

por **adriano tavares** Seg 15 Nov 2010, 02:27

Olá, Eduardo Sicale.

Eu não entendi a resposta.

Será essa?

$V=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

por **Eduardo Sicale** Seg 15 Nov 2010, 19:36

Sim, é essa mesma. Abraços !

por **adriano tavares** Seg 15 Nov 2010, 22:01

Olá, Eduardo Sicale.

Volume de Pirâmide Volumedepirmide1

Uma boa maneira para enchergar uma forma de resolução é inverter a posição da pirâmide fazendo com que a sua base seja o plano OAB, pois dessa forma fica mais simples perceber que a sua altura é o segmento (OC).

Para o triângulo retângulo OBC temos:

$sen30^\circ=\frac{OC}{BC}\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{a}{BC}\Rightarrow BC=2a$

$BC=CA$

$OB=BC.cos30^\circ \Rightarrow OB=2a.\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow OB=a\sqrt{3}$

Note que o triângulo CBA é equilátero, pois BC=CA e o ângulo do vértice superior é igual a 60º.Logo, $BC=CA=AB=2a$

O triângulo OAB é isósceles, pois $OA=OB=a\sqrt{3}$

Poderíamos utilizar a fórmula de Herão para calcular a área do triângulo OAB, pois temos as medidas dos três lados, porém dará muito trabalho.Vamos então calcular a altura do triângulo OAB de base igual a AB.

$(OM)^2=(a\sqrt{3})^2-a^2\Rightarrow (OM)^2=2a^2 \Rightarrow OM=a\sqrt{2}$

Calculando sua área teremos:

$A_{\Delta OAB}=\frac{2a.a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow A_{\Delta OAB}=a^2\sqrt{3}$

Logo, o volume da pirâmide é dado por:

$V=\frac{1}{3}.a^2\sqrt{2}.a \Rightarrow V=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

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