Determine n

Determine os valores de n para os quais o polinômio p(x)= 1 + x + x² + ... + x^n   é divisível por  q(x)=1+x+x²+x³

Primeiramente podemos perceber que Q(x)=(x+1)(x²+1)
Portanto, se P(x) é multiplo de Q(x), então as raizes de Q(x) também serão raizes de P(x).
De maneira geral podemos escrever que:
P(x)=Q(x).D(x)+R(x)
Assim, como as raizes de Q(x) são -1, i e -i, então:
P(-1)=1+(-1)+...+(-1)^n = 0
Fica evidente que é necessário que n seja impar.

Agora, feita a primeira condição, então vamos testar os valores das raizes complexas:

P(i)=1+i+i²+i³+...+i^n = 0
P(i)=1+i+(-1)+(-i)+...+i^n = 0
Agora, podemos perceber também que n deve ser escrito como 4k+3.

De maneira semelhante:
P(-i)=1+(-i)+[(-i)²]+[(-i)³]+...+[(-i)^n] = 0
P(-i) = 1 + (-i) + (-1)+ i + ... + (-i)^n = 0
Então, é necessário então que também n = 4k+3

Portanto, temos três condições, que na verdade são duas:
i) n é impar
ii) n deve ser escrito como 4k+3
Portanto, n deve ser escrito obrigatoriamente como 4k+3.

Assim, teremos os polinomios:
P0(x)=x³+x²+x+1
P1(x)=x^7+x^6+x^5+x^4+x³+x²+x+1 = (x^4+1)(x³+x²+x+1)