Determine (a²+b²+c²)/(a+b+c)

por **Ashitaka** Qua 08 Out 2014, 11:20

Sejam a, b e c inteiros positivos tais que (a√2 + b)/(b√2 + c) seja um número racional. O número (a²+b²+c²)/(a+b+c) é igual a...

R: a-b+c

por **fantecele** Ter 27 Jun 2017, 20:12

$\\\frac{a.\sqrt{2}+b}{b.\sqrt{2}+c}\rightarrow \left ( \frac{a.\sqrt{2}+b}{b.\sqrt{2}+c} \right ).\left ( \frac{c-b\sqrt{2}}{c-b\sqrt{2}} \right )\rightarrow \frac{bc-2ab+\sqrt{2}.(ac-b^2)}{c^2-2b^2}$

Para que isso seja racional devemos ter ac = b².

$\\\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c} \right )\\\\ac=b^2\rightarrow b=\frac{ac}{b}\\\\\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{a+\frac{ac}{b}+c} \right )\rightarrow b.\left ( \frac{(a+b+c)^2-2.(ab+ac+bc)}{ab+ac+bc} \right )\rightarrow b.\left ( \frac{(a+b+c)^2}{ab+ac+bc} \right )-2b\rightarrow \left ( \frac{(a+b+c)^2}{a+\frac{ac}{b}+c} \right )-2b\rightarrow a+b+c-2b=a-b+c$