Decomposiçao vetorial - velocidade

Um homem em uma lancha deve sair do ponto A ao ponto B, que se encontra na margem oposta do rio. A distância BC é igual a a = 30 m. A largura do rio AC é igual a b = 40 m. Com que velocidade mínima u, relativa à água, deve mover-se a lancha para chegar ao ponto B, sabendo que a velocidade da corrente é V0 = 10 m/s ? 

Vamos por o ponto A no plano cartesiano, na origem.
Então, ele deve chegar em B = (30, 40)
Sendo v a velocidade do barco e θ o ângulo que faz com a horizontal(por isso o plano cartesiano), então temos que a velocidade no eixo X será:
Vx = Velocidade resultante em X = V0 + v . cos θ
Vy = Velocidade resultante em Y = v . sen θ
Agora, como queremos que o barco percorra  a distância AB em linha reta(pois não dá pra fazer curva sem mudar a velocidade), então é necessário que:
Vx . t = a
Vy . t = b
Portanto, isolando os t's e igualando obtemos:
Vx . b = Vy . a
(V0 + v . cos θ) . b = (v . sen θ) . a
Isolando v obtemos:
v = (v0 . b)/(a . sen θ - b . cos θ)
Certo, agora como b, a e v0 são fixos, então queremos que a velocidade mínima será quando o denominador for máximo.
E como fazemos isso? Podemos fazer uma substituição:
K = a . sen θ - b . cos θ
K = √(a²+b²)([a/√(a²+b²)] . sen θ - [b/√(a²+b²)] . cos θ)
Sendo cos β = a/√(a²+b²) e sen β = b/√(a²+b²) e então:
K = √(a²+b²)[cos β . sen θ - cos θ . sen β] = √(a²+b²) . sen(θ-β)
Portanto:
V = (v0 . b)/[√(a²+b²) . sen(θ-β)]
Logo, o mínimo da velocidade ocorre quando o seno é maximo, ou seja.
Vmin = v0 . b / √(a²+b²)
Substituindo os dados obtemos:
Vmin = 8 m/s
A direção em que isso ocorre satifaz:
sen(θ-β) = 1 ---> θ - β = 90° ---> θ = 90° + β

Podemos perceber que como:
0 < β < 90°
Então 
90° < θ < 180°
Ou seja, a direção do barco é para a esquerda e para cima nesse caso. Onde:
cos θ = -4/5
sen θ = 3/5


PS: O ângulo β nada mais é que o ângulo ABC. Nos dados da questão temos que:
√(a²+b²) = 50
a = 30
b = 40
sen β = 4/5
cos β = 3/5

Nao entendi como você usa as relaçoes de seno e cosseno pra achar Vx e Vy atrraves dos angulo θ e ao mesmo tempo diz que  θ > 90°

Eu disse que θ > 90° apenas no final, quando eu conclui que sen(θ-β)=1

Eu utilizei seno e cosseno pois não sei a direção em que o barco segue. E se digamos eu supor que existe uma velocidade Vx e uma velocidade Vy, e trabalhar com elas fica bem mais complicado que trabalhar com seno e cosseno.
No caso como não sabia a direção, então adotei um ângulo theta que pode mudar, pra então calcular o valor dele depois.




Decompus o vetor, e então achei o vetor resultante nas suas componentes.
Como as velocidades são uniformes nos eixos, então podemos considerar a equação de movimento uniforme:
S = v . t
No caso a distância percorrida horizontal é a, durante um tempo t, e a distância vertical é b, também durante um tempo t.

Carlos ainda n entendo como o angulo theta pode ser maior que 90° se para usar relaçao de seno e cosseno é preciso q o angulo esteja num intervalo menor
E o desenrolar das contas ate chegar em sen(θ-β)=1 se baseia nessa relação trigonometrica

vinicius89 escreveu:Carlos ainda n entendo como o angulo theta pode ser maior que 90° se para usar relaçao de seno e cosseno é preciso q o angulo esteja num intervalo menor

Mas por que não pode ser maior que 90?
Segundo o calculado, temos o caso:

Montei um link externo, caso queira dar uma olhada no link abaixo, como o tamanho do vetor varia:
Barco

Acho que sua dúvida é porque acha que o barco se estiver apontando para a esquerda então ele não chegará em A, mas sim chegará a um ponto na esquerda. Mas isso não ocorre porque a correnteza leva o barco mais rápido pra direita que o barco anda para a esquerda.

Carlos mto obrigado por tda essa ajuda.Na verdade era ate mais "bobo" que isso. Minha duvida estava no fato de como vc usa essa expressao "v.cosθ" ate para angulos obtusos.Mas vi que  nao interfere em nda no raciocinio para "v" minimo se pensarmos em angulos suplementares.