Valor mínimo

por Thiago.R 13/8/2015, 10:40 am

Se os números reais x e y satisfazem (x+5)² + (y-12)² = 14², então o menor valor de x²+y²
é:

(A) 2
(B) 1
(C) 1/2
(D) √3
(E) √2

Gabarito: B

por **Elcioschin** 13/8/2015, 1:12 pm

Um método trabalhoso usando derivada:

1) (y - 12)² = 14² - (x + 5)² ---> (y - 12)² = 196 - x² -10.x - 25 ---> (y - 12)² = 171 - x² - 10.x --->

y - 12 = (171 - x² - 10.x)^1/2 ---> y = 12 + (171 - x² - 10.x)^1/2 --->

y² = 12² + 24.(171 - x² - 10.x)^1/2 + (171 - x² - 10x) --->

y² + x² = 315 - 10.x + 24.(171 - x² - 10.x)^1/2

Fazendo x² + y² = E e derivando:

E' = - 10 + 24.(1/2).(-2x - 10)/√(171 - x² - 10.x)---> E' = {(- 10.√(171 - x² - 10.x) - 12.(2x - 10)}/√(171 - x² - 10.x)

Para um valor mínimo ---> E' = 0 ---> - 10.√(171 - x² - 10.x) - 24x - 120 = 0

Calcule os valores de x, teste-os e depois de y e calcule Emáx

por Thiago.R 14/8/2015, 12:07 pm

Obrigado, mestre ! Se me permitir, uma pequena correção:

E' = - 10 + 24.(1/2).(-2x - 10)/√(171 - x² - 10.x)

E' = {(- 10.√(171 - x² - 10.x) - 12(2x - 10)}/√(171 - x² - 10.x)

E' = 0 ---> - 10.√(171 - x² - 10.x) - 24x - 120 = 0

Muito trabalhosa, valores muito altos... Acho que resolvendo por desigualdades deva sair tbm, mas não sou muito conhecedor do assunto. Tinha tentado antes por derivada tbm, mas não saia pois eu abri os quadrados e ficava numa relação com x², x, y² e y. Não tinha conseguido isolar em função de uma única variável. Obrigado !

por **Elcioschin** 14/8/2015, 12:30 pm

Obrigado pelo alerta sobre 24.(1/2): foi distração minha nas contas. Já editei (em vermelho).

Certamente deve existir uma solução mais simples. Vamos aguardar contribuições de outros colegas do fórum.

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