(FUVEST-SP) Na figura a seguir, AD = 2 cm, AB

(FUVEST-SP)    Na    figura    a    seguir,    AD    =    2    cm,    AB    =    ٧3 cm, a medida do ângulo BAC é 30° e BD = DC, em que D é ponto do lado AC. A medida do lado BC, em cm, é





A) ٧3      D) ٧6  B) 2  
   E) ٧7
C) ٧5

Utilize a lei dos cossenos duas vezes,primeiro no triângulo ABD e você encontrará o valor de BD que é igual a DC.Então só aplicar novamente no triângulo ABC para encontrar o lado BC.

X^2=4+3-2*2*√3*√3/2
X^2=7-6
X=1
O OUTRO LADO NÃO CONSEGUI

x^2=3+9-2*√3*3√3/2
x^2=12-9
x=√3

Eu fiz da seguinte forma:
1) Tracei uma reta perpendicular do ponto B até o ponto T(novo ponto que criei) que intercepta o segmento de reta AD formando um angulo reto.

2) Através da relação que diz "em um triangulo retangulo que possui um angulo de 30º, seu angulo oposto será metade da hipotenusa" deduzi que AT é V3/2 pois o AB é a hipotenusa do triangulo ABT ( O comprimento de AB é dado, e é V3).

3)No triangulo formado adjacente, que é o BTD, BT mede V3/2 e TD é 1/2 (porque ?.: Pois pela lei dos senos do triangulo ABT, o vertice B tem 60º, logo: Sen60=AT/AB.: V3/2=AT/2.: AT= 1/2), com esses valores descobre-se o comprimento de BD por pitágoras -> BD²=BT²+TD² -> BD²=(V3/2)² + (1/2)² -> BD = 1!

4)Como BD=DC, onde BD = 1, DC =1....
A condição de existência de um triangulo é:
a < b+c ou a > |b-c|
logo:
BC < BD+DC .: BC < 1+1

5) A ÚNICA opção onde BC < 2 é V3! Opção A!

LEGENDA: V = raiz quadrada

OBS: Sei que para quem talvez esteja começando isso pareça japonês, mas um ÓTIMO livro que mudou minha idéia sobre geometria é o Geometria I - A.C. Morgado et al.
Parece dificil, mas conhecendo os axiomas, se torna muito mais simples de entender qualquer exercício de Geometria. Perca tempo no livro anotando e pensando sobre as "regras" que você não terá mais problemas com geometria.
Forte abraço, bons estudos!

tg30º = sqrt3/3 = h/x, logo x = h(sqrt3)
sendo x o segmento AT, e BT a altura de B projetada sobre o lado AD.

h^2 + x^2 = sqrt3^2 => h^2 + x^2 = 3

h^2 + (h(sqrt3))^2 = 3
h^2 + 3h^2 = 3
h = sqrt3 / sqrt 4 = sqrt3 / 2

h^2 + TD^2 = BD^2
( sqrt3 / 2 )^2 + ( 2 - x )^2 = BD^2
3 / 4 + 2^2 + x^2 - 4x = BD^2
3/4 + 4 + (3/2)^2 - 4(3/2) = BD^2
BD^2 = 1
BD = 1

BD = DC = 1.
BDC é triângulo isósceles.
Da definição de triângulo isósceles, e sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º, decorre que o ângulo em D no triângulo BDC é 180º - 2x.
E 180º - 2x + y = 180º, sendo y o ângulo em D no triângulo retângulo BTD.
Disso decorre que y = 2x.

Mas sabemos que tg y = h / ( 2 - x ) = ( sqrt3 / 2 ) / ( 2 - 3/2 ) = ( sqrt3 / 2 ) / ( 1 / 2 ) = sqrt3
Se tg y = sqrt3, logo y = 60º.
Mas se y = 60º, então y = 2x = 60º e x = 30º.

Por isso agora sei que, para o x em C no triângulo BDC, senx = sen30º = 1/2 = h/BC

Opa. Parece então que BC é o dobro da altura BT.
BC = 2(sqrt3 / 2) = sqrt3
BC = sqrt3

Alternativa A.

Como vocês podem ver, era um problema simples, que se resolve somente aplicando o teorema de pitágoras.