Equação trigonométrica

por paulooctavio Qua 17 Jun 2015, 08:15

O número de soluções da equação 2.cosx=senx que pertencem ao intervalo [-16 π/3 , 16 π/3] é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12

por **Carlos Adir** Qua 17 Jun 2015, 12:11

$\mathrm{2 \cdot cos \ x = sen \ x \Rightarrow tan \ x = 2}$
Dê uma olhada no link abaixo:
Circulo
Toda vez que a reta preta coincide com a reta vermelha, é uma solução.

Uma resposta mais técnica:
Em um intervalo [0, 2pi] temos 2 respostas.
Portanto, em um intervalo [-4pi, 4pi] possui 8 soluções.
Agora, resta-nos saber nos intervalos [-16pi/3, -4pi] e [4pi, 16pi/3]
Mas saber nesses intervalos é mesma coisa que saber quantas raizes tem nos intervalos:
[-4pi/3, 0] e [0, 4pi/3]
Como tan(-4pi/3)=-tan(pi/3)=-√3>-√2, há uma solução então.
tan(4pi/3)=tan(pi/3)=√3<2, há uma solução então.

Logo, existem 8+1+1=10 soluções. C)

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