O desafio de Sophie

por **Elcioschin** Sáb 09 Out 2010, 18:20

Um desafio interessante:

Para n natural, n > 1, prove que n^4 + 4 é um número composto.

por **Euclides** Sáb 09 Out 2010, 19:29

Definição:

Número composto:

Um número natural, maior que 1, que tem mais de dois divisores é um número composto. 9 e 12 são números compostos porque têm mais de 2 divisores.

por **Elcioschin** Sáb 09 Out 2010, 19:54

Euclides

Obrigado pela complementação:

Outro modo de dizer é que, para n natural, n > 1, n^4 + 4 não é primo

por **Elcioschin** Qui 14 Out 2010, 19:45

Como o tópico está quase mudando de página, para não cair no esquecimento, vou mostrar a solução:

n^4 + 4 = n^4 + 4n² + 4 - 4n²

n^4 + 4 = (n² + 2)² - (2n)² ----> a² - b² = (a + b)*(a - b):

n^4 + 4 = (n² + 2 + 2n)*(n² + 2 - 2n)

Como n > 1 cada fator do 2º membro é diferente de 1 e diferente do próprio n

Isto significa que (n^4 + 4) é formado dois fatores diferentes da unidade e de n ---> n é composto

por **Euclides** Qui 14 Out 2010, 19:54

Excelente solução Élcio! De elegante simplicidade. Eu não a havia percebido.

por **Elcioschin** Qui 14 Out 2010, 20:14

Esta demonstração é de autoria de Sophie Germain, excelente matemática francesa que nasceu em 1776, teve relacionamento matemático com Lagrange e Gauss e foi uma das grandes contribuidoras na Teoria dos Números.

Ela participou ativamente do trabalho de demonstrar o Último Teorema de Fermat tendo deixado importantes sugestões sobre o assunto.

por **Euclides** Qui 14 Out 2010, 20:34

Conheço a biografia de Sophie Germain, uma brilhante e independente mulher num tempo em que ainda nem se dava importância a que as mulheres tivessem acesso ao estudo. Vou ver se a coloco lá no História da Ciência.