Fatoracao/ sophie germain/ 1987 AIME Problem 14

por Lima015 Dom 05 Abr 2020, 12:56

{ (10^4 + 324) (22^4 + 324) (34^4 + 324) (46^4 + 324) (58^4 + 324)} /{ (4^4 + 324) (16^4 + 324) (28^4 + 324) (40^4 + 324) (52^4 + 324)}

*imagem para melhor visualizacao

Fatoracao/ sophie germain/ 1987 AIME Problem 14 Df539110

por **fantecele** Dom 05 Abr 2020, 20:08

Perceba que temos uma expressão do tipo n⁴ + 4.3⁴, daí:

n⁴ + 4.3⁴
n⁴ + 4.3⁴ + 4.n².3² - 4.n².3²
(n² + 2.3²)² - 4.n².3²
(n² + 2.3² + 2.n.3).(n² + 2.3² - 2.n.3)
((n + 3)² + 3²).((n - 3)² + 3²)

Daí iremos ter que:

$\tiny \\\frac{(13^2+3^2).(7^2+3^2).(25^2+3^2).(19^2+3^2).(37^2+3^2).(31^2+3^2).(49^2+3^2).(43^2+3^2).(61^2+3^2).(55^2+3^2)}{(7^2+3^2).(1^2+3^2).(19^2+3^2).(13^2+3^2).(31^2+3^2).(25^2+3^2).(43^2+3^2).(37^2+3^2).(55^2+3^2).(49^2+3^2)}$

Depois de simplificar, iremos obter:

$\\\frac{61^2+3^2}{1^2+3^2}=373$

Creio que seja isso, qualquer coisa é só perguntar.

por **Mateus Meireles** Seg 06 Abr 2020, 00:19

Muito bom, fantecele.

Sempre aprendo muito com as ideias que você mostra por aqui.

Vlw!

Abs.

por **Medeiros** Seg 06 Abr 2020, 01:17

caramba, Fantecele, que bela solução!!

eu que não gosto de álgebra (porque não a sei, rss) estou aqui babando. E nem ao menos consegui entender como se deu aquela passagem para um produto de dois trinômios.

Fatoracao/ sophie germain/ 1987 AIME Problem 14 2jfk7z10

por **fantecele** Seg 06 Abr 2020, 14:19

Opa, muito obrigado a todos!!

A passagem pros trinômios é só usar aquela ideia do x² - y² = (x - y)(x + y).

Álgebra é uma matéria muito boa, tem sempre uns exercícios bons pra se fazer (eu pensava assim até entrar no ensino superior, aí minha opinião mudou completamente sobre ela kkk)