Complexos
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Complexos
por nandofab Qua 13 maio 2015, 08:15
Determine o maior e o menor valores possiveis para |Z|, dado que | z + 1/z | = 1.
- Spoiler:
- (v5 -1)/2 <= |z| <= (v5+1)/2, onde v5 é raiz de 5. Dica: interpretar geometricamente e usar desigualdade triangular! Como fazer usando lei dos cossenos?
nandofab- Jedi
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Re: Complexos
por Ashitaka Qua 13 maio 2015, 09:13
Esse aí é do Lidsky, não? O esquema é fazer geomtricamente mesmo.
Daí pela desigualdade triangular:
|z| + |1+1/z| ≥ |1/z|
|z|² + |z| - 1 ≥ 0
|z| ≥ (√5 - 1)/2
|1 + 1/z| + |1/z| ≥ |z|
|z|² - |z| - 1 ≤ 0
|z| ≤ (√5 + 1)/2
(√5 - 1)/2 ≤ |z| ≤ (√5 + 1)/2
Agora com lei dos cossenos não sei se sai.
|1 + 1/z|² = |1/z|² + |z|² - 2cosa
|z|² = 1 + |z|^4 - 2|z|²cosa
|z|^4 - |z|²(1 - 2cosa) - 1 = 0
Vê aí se consegue maximizar/minimizar isso.
Daí pela desigualdade triangular:
|z| + |1+1/z| ≥ |1/z|
|z|² + |z| - 1 ≥ 0
|z| ≥ (√5 - 1)/2
|1 + 1/z| + |1/z| ≥ |z|
|z|² - |z| - 1 ≤ 0
|z| ≤ (√5 + 1)/2
(√5 - 1)/2 ≤ |z| ≤ (√5 + 1)/2
Agora com lei dos cossenos não sei se sai.
|1 + 1/z|² = |1/z|² + |z|² - 2cosa
|z|² = 1 + |z|^4 - 2|z|²cosa
|z|^4 - |z|²(1 - 2cosa) - 1 = 0
Vê aí se consegue maximizar/minimizar isso.
Ashitaka- Monitor
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