Progressao ? (aritmetica ou geometrica)

Se a seqüência (an) é definida por: a1 = 4 e an+ 1 = an + 3n para n >= 1,
então a51 é igual a:
a) 3829 b) 3891 c) 3900 d) 3999 e) 4825.

Hola.

Não seria: a_(n+ 1) = a_n + 3n

Hola mdtanos.

a_(n+ 1) = a_n + 3n

qdo n = 1, temos:
a_(1+1) = a_1 + 3*1 ==> a_2 = a_1 + 3*1, ou seja:
a_2 = 4 + 3*1

qdo n = 2, temos:
a_(2+1) = a_2 + 3*2 ==> a_3 = a_2 + 3*2, ou seja:
a_3 = 4 + 3*1 + 3*2

qdo n = 3, temos:
a_(3+1) = a_3 + 3*3 ==> a_4 = a_3 + 3*3, ou seja:
a_4 = 4 + 3*1 + 3*2 + 3*3

observe que em a_4, podemos colocar o termo comum 3 em evidência, o que nos dá:
a_4 = 4 + 3*1 + 3*2 + 3*3
a_4 = 4 + 3*(1 + 2 + 3), então: a_51 pode ser assim escrito:

a_51 = 4 + 3*( 1+ 2 + 3 + .... + 49 + 50), fazendo a soma dos 50 termos consecutivos entre os parênteses encontramos:

S_50 = ( a_1 + a_n)*n/2
S_50 = ( 1 + 50)*50/2
S_50 = 51*50/2
S_50 = 51*25
S_50 = 1275, portanto:

S_51 = 4 + 3*1275
S_51 = 4 + 3825
S_51 = 3829, letra a.