Demonstração envolvendo lado de triângulo

por **Adam Zunoeta** Seg 13 Set - 19:20

Mostrar que se a, b e c são lados de um triângulo então o trinômio:
$a^2x^2+(b^2-a^2-c^2)x+c^2$
é positivo ;
$\forall x \in R$
Minha resolução:
A expressão é:
$a^2x^2+(b^2-a^2-c^2)x+c^2$
E uma equação do segundo grau, para provarmos que $x$ é positivo $\forall x \in R$ o que fazemos?
Simples! Delta menor quer zero!, ora como $a>0$ temos que a função será estritamente positiva.
Então vamos lá:
Primeiro Passo:
$\Delta <0$
$\left ( b^2-a^2-c^2 \right )^{2}-4a^2c^2<0$
Então:
$\left \left ( b^2-a^2-c^2 \right )<2ac\rightarrow b^2-a^2-2ac-c^2<0\rightarrow b^2-(a+c)^2<0$
Ou
$\left \left ( b^2-a^2-c^2 \right )>-2ac\rightarrow b^2-a^2+2ac-c^2>0\rightarrow b^2-(a-c)^2>0$
Qual a condição de existência do triângulo?
Qualquer lado do triângulo é maior que a diferença (torna a primeira desigualdade verdadeira) e menor que a soma dos outros ( torna a segunda a desigualdade verdadeira).
Conclusão :
$a^2x^2+(b^2-a^2-c^2)x+c^2$
$\forall x \in R$ temos $x>0$

Gostaria de confirmar minha resolução, por que as vezes eu faço uns passos ninja

por Rodrigo da Mata Seg 25 Fev - 19:08

Tá certinho mano! Fiz exatamente desse jeito com o mesmo problema na apostila da poliedro

por Arlindocampos07 Seg 13 Mar - 17:23

Adam Zunoeta escreveu:Mostrar que se a, b e c são lados de um triângulo então o trinômio:
$gif.latex?a^2x^2+(b^2-a^2-c^2)x+c^2$
é positivo ;
$gif.latex?\forall x \in R$
Minha resolução:
A expressão é:
$gif.latex?a^2x^2+(b^2-a^2-c^2)x+c^2$
E uma equação do segundo grau, para provarmos que $gif.latex?x$ é positivo $gif.latex?\forall x \in R$ o que fazemos?
Simples! Delta menor quer zero!, ora como $gif.latex?a>0$ temos que a função será estritamente positiva.
Então vamos lá:
Primeiro Passo:
$gif.latex?\Delta <0$
$gif.latex?\left ( b^2-a^2-c^2 \right )^{2}-4a^2c^2<0$
Então:
$gif.latex?\left \left ( b^2-a^2-c^2 \right )<2ac\rightarrow b^2-a^2-2ac-c^2<0\rightarrow b^2-(a+c)^2<0$
Ou
$gif.latex?\left \left ( b^2-a^2-c^2 \right )>-2ac\rightarrow b^2-a^2+2ac-c^2>0\rightarrow b^2-(a-c)^2>0$
Qual a condição de existência do triângulo?
Qualquer lado do triângulo é maior que a diferença (torna a primeira desigualdade verdadeira) e menor que a soma dos outros ( torna a segunda a desigualdade verdadeira).
Conclusão :
$gif.latex?a^2x^2+(b^2-a^2-c^2)x+c^2$
$gif.latex? \forall x \in R$ temos $gif.latex? x>0$

Gostaria de confirmar minha resolução, por que as vezes eu faço uns passos ninja

Ressuscitando o tópico! Alguém saberia fazer? As imagens e equações sumiram Neutral

por **Elcioschin** Seg 13 Mar - 18:27

Um caminho:

Propriedade dos triângulos --> a - c < b < a + c ---> Elevando ao quadrado:

(a - c)² < b² < (a + c)² ---> a² - 2.a.c + c² < b² < a² + 2.a.c + c² --->

c² - 2.a.c < b² - a² - c² < a² - 2.a.c ---> I

∆ < 0 ---> (b² - a² - c²)² - 4.a².c² < 0 ---> II

por Arlindocampos07 Ter 14 Mar - 8:46

Elcioschin escreveu:Um caminho:

Propriedade dos triângulos --> a - c < b < a + c ---> Elevando ao quadrado:

(a - c)² < b² < (a + c)² ---> a² - 2.a.c + c² < b² < a² + 2.a.c + c² --->

c² - 2.a.c < b² - a² - c² < a² - 2.a.c ---> I

∆ < 0 ---> (b² - a² - c²)² - 4.a².c² < 0 ---> II

Entendi, Mestre! Vou tentar aqui novamente!

Muito Obrigado Smile