Questão Desafio de Geometria

Num triângulo ABC, traça-se a bissetriz do ângulo  e sobre ela tomam-se os segmentos AE=AB e AF=AC. Une-se B com F e C com E. Mostrar que BF=CE.

Gostaria de confirmar minha resolução:
A minha interpretação da questão é:

Pela figura vemos que o triângulo BÂF e congruente ao triângulo EÂC, e usando o critério de LAL temos que BF=CE.
Eu tive grave dificuldades com a seguinte frase da questão:
Num triângulo ABC, traça-se a bissetriz do ângulo  e sobre ela tomam-se os segmentos AE=AB e AF=AC. Une-se B com F e C com E. Mostrar que BF=CE
Gostaria de uma segunda opinião, pois não só muito bom de geometria (pra não dizer péssimo).

Vcê não traçou a bissetriz do ângulo  = BÂC

Você traçou a bissetriz do ângulo externo ao ângulo Â

A reta tracejada pelo ângulo em vermelho indica a bissetriz

1) Para ser bissetriz o ângulo entre a bissetriz e a reta AB deve ser o MESMO ângulo da bissetriz com a reta AC. Pelo desenho não é isto que parece. Desenhe melhor.

2) Enunciado: Num triângulo ABC, traça-se a bissetriz do ângulo  e sobre ela tomam-se os segmentos AE=AB e AF=AC

Isto significa que os pontos E e F devem ficar sobre a bissetriz e não é o que vejo no seu desenho.

Elcioschin escreveu:1) Para ser bissetriz o ângulo entre a bissetriz e a reta AB deve ser o MESMO ângulo da bissetriz com a reta AC. Pelo desenho não é isto que parece. Desenhe melhor.

2) Enunciado: Num triângulo ABC, traça-se a bissetriz do ângulo  e sobre ela tomam-se os segmentos AE=AB e AF=AC
Isto significa que os pontos E e F devem ficar sobre a bissetriz e não é o que vejo no seu desenho.

1) Para ser bissetriz o ângulo entre a bissetriz e a reta AB deve ser o MESMO ângulo da bissetriz com a reta AC. Pelo desenho não é isto que parece. Desenhe melhor.
Eu rediz o desenho vê se está certo agora:

2) Enunciado: Num triângulo ABC, traça-se a bissetriz do ângulo  e sobre ela tomam-se os segmentos AE=AB e AF=AC
Isto significa que os pontos E e F devem ficar sobre a bissetriz e não é o que vejo no seu desenho.
Sim, eu concordo, más foi único modo que achei de provar, você pode me ajudar a achar outro?

Balanar

1) O seu desenho continua errado. Isto significa que a sua prova não é válida:

a) A bissetriz deve ficar EXATAMENTE no meio do ângulo BÂC. Embora você tenha escrito que cada metade do ângulo vale teta/2, pela figura o ângulo da esquerda parece bem maior; incline portanto a reta ponilhada um pouquinho, no sentido horário, em torno do ponto A. Uma figura bem feita ajuda muito na hora de raciocinar.

b) Os pontos E e F continuam colocados em posição errada. Você colocou estes pontos erradamente nos prolongamentos dos lados BA e CA. Eles devem ficar sobre a linha pontilhada que representa a bissetriz, conforme expliquei passo-a-passo na minha mensagem anterior.

Após corrigir o desenho sugiro fazer semelhança de triângulos.

Após fazer o triângulo e traçar a bissetriz pelo ângulo Â, prolongue-a no sentido contrário ao lado BC. Depois, coloque sobre a mesma os pontos E e F e una-os, respectivamente, ao ponto C e B formando, então, dois novos triângulos externos ao triângulo inicial ABC. Como os segmentos AF=AC, AE=AB e os ângulos EÂC=BÂF, chegamos a conclusão através dos critérios de congruência entre triângulos - especificamente o critério LAL (lado, angúlo, lado)- que os triângulos externos em questão são congruentes, logo: BF/CE = 1.
Espero ter ajudado

alguém pode fazer o desenho da questão?

Acrescentando no tópico do ano de 2010 do Adam Zunoeta;  o tópico do ano de 2015 com as imagens das resoluções. 

Respondida por Medeiros e raimundo pereira

https://pir2.forumeiros.com/t81647-num-triangulo-abc