qual o vallor maximo da expressão

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qual o vallor maximo da expressão

Mensagem por vinicius paiva duarte em Sab 28 Mar 2015, 18:37

No espaço a expressão -x²-y²+2x+-16y+14





assume valores arbitrariamente pequenos e, portanto, não atinge um valor mínimo. Qual o valor máximo atingido pela expressão?

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Re: qual o vallor maximo da expressão

Mensagem por Giovana Martins em Dom 28 Out 2018, 20:00

A expressão está ambígua. O cálculo a seguir foi feito tomando a expressão M(x,y)=-x²-y²+2x+16y+14. Caso a expressão seja M(x,y)=-x²-y²+2x-16y+14, o cálculo é análogo.

\\M(x,y)=-x^2-y^2+2x+16y+14\\\\\frac{\partial M}{\partial x}=-2x+2\ \therefore \ \frac{\partial M}{\partial x}=0\to x=1\\\\x=1\ em\ M(x,y):\ M(1,y)=-y^2+16y+15\\\\\ \therefore \ M(x,y)_{max}=-\frac{\Delta }{4a}\to \boxed {M(x,y)_{max}=79}

Nota: eu não tentei, mas creio que esta questão possa ser facilmente resolvida partindo-se do conceito da Matriz Hessiana. Talvez desse para resolver esta questão utilizando o conceito de Desigualdade das Médias, mas faz muito tempo que eu não mexo com este assunto, daí eu estou um pouco enferrujada nisso Razz Razz Embarassed .

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Re: qual o vallor maximo da expressão

Mensagem por Giovana Martins em Dom 28 Out 2018, 20:18

Um jeito que faz com que essa questão fique acessível até mesmo para aqueles que só dominam os conceitos do ensino médio é pensando da seguinte maneira: inicialmente, tratemos y como uma constante qualquer. Desse modo, teremos uma equação do segundo grau em x. Vamos achar o valor de x que maximiza M(x,y).

\\M(x,y)=-x^2+2x+(-y^2+16y+14)\\\\x_v=-\frac{b}{2a}\to x_v=-\frac{2}{2.(-1)}\to x_v=1\\\\x_v=1\ em\ M(x,y):\ M(x_v,y)=-y^2+16y+15

Agora, achemos o valor de y que maximiza M(x,y).

\\M(1,y)=-y^2+16y+15\\\\y_v=-\frac{b}{2a}\to y_v=-\frac{16}{2.(-1)}\to y_v=8

Desse modo, temos que o par (x,y)=(1,Cool maximiza M(x,y). Sendo assim, o valor que máximo de M(x,y) é dado por:

\boxed {M(x,y)_{max}=79}

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