transformações e espaços lineares

1) Verificar quais são seus subespaços em relações ás operações e multiplicação por escalar usuais.para os que são subespaços mostrar que as duas condições estão satisfeitas.caso contrario,citar um contraexemplo

a) S = (x,-3x,4x);x ∈ R }

b) S = (x,y,z)/x ≥ 0 }

a) i)Dado u=(x1,-3x1,4x1) e v=(x2,-3x2,4x2), vamos ver se a soma está em S.

Fazendo u+v teremos:

u+v=(x1+x2, -3x1-3x2, 4x1+4x2) = (x1+x2, -3(x1+x2), 4(x1+x2))

Logo, vemos que u+v está em S.

ii) Dado u=(x,-3x,4x) e um número a real, então temos que ver se a*u continua em S. Então:

au = (ax,-3ax,4ax) = (ax, -3(ax), 4(ax))

Então a*u continua em S.

Logo, S é subespaço de R³.


b) Se pegarmos um vetor u=(x,y,z) com x≥0 e pegarmos um número real a<0, então:

au = (ax,ay,az), Se considerarmos x≠0, então ax<0 o que contradiz a condição da primeira coordenada do vetor ser maior ou igual a zero.

Logo, S não é subespaço de R³.

Um contra exemplo é: Seja um vetor u=(1,2,3) ∈ S, se pegarmos esse vetor e multiplicar por um escalar qualquer ele tem que continuar em S para que ele seja subespaço, em particular para a=-1. Então a*u tem que continuar em S.

Mas se pegarmos o a=-1 e multiplicar por u ficaremos com:

-1(1,2,3) = (-1,-2,-3) e vemos que a primeira coordenada é negativa o que contraria a condição de x ser maior ou igual a zero.