Integral para calcular arco

por neoreload Dom 22 Mar 2015, 03:17

Ajuda com essa :X :

Encontrar o comprimento de arco da curva:

Integral para calcular arco V7W1tampqZKSkm5ubmFhYVRUVAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACH5BAEAAAAALAAAAABgABMAAATsEMhJq714BsVD3YqXjWRpnqUyAEJIqYOCznQ9y1I76QB+gSKbcHjx9SYKgcRI2QhiRADIFR3yoE8mUnkcOlnUai0pOSQ4B26F1xWSc1pxiS1Txnvq+4mJ48Q6VS2AGm9dbBUyAXZEfGAGKmCIHJOUHBZnSgQ+Gx59S2oUAgeTCQeSlZWIqgoECKZiUGAiLQVLSwOxFioCnStDjbdyZpNBCgiUEkAYRnp7qlJhUc1jO9Mpz4e6qKkvcrbQQUjbyC9qPIVVkJFjfQMt4UJf799yU9EoCAnJg1VT8N6wrAEcKEcgwYNCsiFcmO7fwggAOwAAAAAAAAAAAA==

até

Integral para calcular arco MBIIYM0IGKqTii7vqvQwjR2Cixi6FytboaJDICa+VYIHFFwImI0nWNlyMIZJxrmFTajAjSe7VIiRpZkHgl16y2roFFWept0SWuogPVOExQ4BwUVHISFg4WIhkQDAmElfC9GbpAYXZM0cGkXLWAWiYqVZ3GejKOUlk8bmpROdqwwXq9ISrIqsbUhWbgpnZe4MgRkuyA8PRYRADsAAAAAAAAAAAA=

Resposta:

Se não for muito, coloquem o passo a passo bem detalhado Very Happy

. Vlws ^^

por neoreload Dom 22 Mar 2015, 22:15

neoreload escreveu:Ajuda com essa :X :

Encontrar o comprimento de arco da curva: até

Resposta:

Se não for muito, coloquem o passo a passo bem detalhado . Vlws ^^

alguém ?

por **Jader** Dom 22 Mar 2015, 23:17

Como o comprimento é dado por: $C=\int_{a}^{b}\sqrt{r^{2}+(\frac{dr}{d\theta })^{2}}d\theta$

Então ficamos com a integral assim:

$C=\int_{0}^{\frac{3\pi }{2}}\sqrt{e^{4\theta }+4e^{4\theta }}d\theta= \int_{0}^{\frac{3\pi }{2}}\sqrt{5e^{4\theta }}d\theta\\\\ =\sqrt{5}\int_{0}^{\frac{3\pi }{2}}\sqrt{e^{4\theta }}d\theta=\sqrt{5}\int_{0}^{\frac{3\pi }{2}}e^{2\theta }d\theta\\\\ Substituindo\\\\ \left\{\begin{matrix} u & = &2\theta \\ du& = &2d\theta \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \theta &= &0\Rightarrow u&=&0 \\ \theta&= &\frac{3\pi }{2} \Rightarrow u&=&3\pi \end{matrix}\right. \\\\Assim\\\\ \sqrt{5}\int_{0}^{\frac{3\pi }{2}}e^{2\theta }d\theta=\frac{\sqrt{5}}{2}\int_{0}^{3\pi }e^{u }du=\frac{\sqrt{5}}{2}(e^{u})|_{0}^{3\pi }=\frac{\sqrt{5}(e^{3\pi }-1)}{2}$

por neoreload Seg 23 Mar 2015, 00:43

Jader escreveu:Como o comprimento é dado por: $C=\int_{a}^{b}\sqrt{r^{2}+(\frac{dr}{d\theta })^{2}}d\theta$

Então ficamos com a integral assim:

$C=\int_{0}^{\frac{3\pi }{2}}\sqrt{e^{4\theta }+4e^{4\theta }}d\theta= \int_{0}^{\frac{3\pi }{2}}\sqrt{5e^{4\theta }}d\theta\\\\ =\sqrt{5}\int_{0}^{\frac{3\pi }{2}}\sqrt{e^{4\theta }}d\theta=\sqrt{5}\int_{0}^{\frac{3\pi }{2}}e^{2\theta }d\theta\\\\ Substituindo\\\\ \left\{\begin{matrix} u & = &2\theta \\ du& = &2d\theta \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \theta &= &0\Rightarrow u&=&0 \\ \theta&= &\frac{3\pi }{2} \Rightarrow u&=&3\pi \end{matrix}\right. \\\\Assim\\\\ \sqrt{5}\int_{0}^{\frac{3\pi }{2}}e^{2\theta }d\theta=\frac{\sqrt{5}}{2}\int_{0}^{3\pi }e^{u }du=\frac{\sqrt{5}}{2}(e^{u})|_{0}^{3\pi }=\frac{\sqrt{5}(e^{3\pi }-1)}{2}$

Obrigado pela resposta amigo. So n entendi como o $\sqrt{e^{4\Theta }}$ virou o $e^{2\Theta }$ . E tb n entendi como o theta foi transformado nessa parte: $\left\{\begin{matrix} \theta &= &0\Rightarrow u&=&0 \\ \theta&= &\frac{3\pi }{2} \Rightarrow u&=&3\pi \end{matrix}\right.$

por **Mimetist** Seg 23 Mar 2015, 01:32

\sqrt{e^{4\Theta}}=e^{\frac{4\Theta}{2}}=e^{2\Theta}

Quanto ao segundo passo, é uma maneira de alterar os limites de integração quando se utiliza o método de substituição.

Sua nova variável é u , portanto, deve-se encontrar novos valores para os limites de integração utilizando a relação existente entre u e \Theta como feito na resolução acima.

por neoreload Seg 23 Mar 2015, 05:10

Mimetist escreveu:\sqrt{e^{4\Theta}}=e^{\frac{4\Theta}{2}}=e^{2\Theta}

Quanto ao segundo passo, é uma maneira de alterar os limites de integração quando se utiliza o método de substituição.

Sua nova variável é u , portanto, deve-se encontrar novos valores para os limites de integração utilizando a relação existente entre u e \Theta como feito na resolução acima.

Tendi, mas como o $\frac{3\pi}{2}$ vira $\3\pi$ ? n entendi como ocorreu essa mudança

por **Jader** Seg 23 Mar 2015, 11:23

Como que foi feito a substituição? Num trocamos 2θ por u, então como u = 2θ temos que:

Quando θ = 0 (limite inferior), então u = 2*0 => u=0(novo limite inferior)

Quando θ = 3π/2 (limite superior), então u=2(3π/2) => u=3π(novo limite superior)

por neoreload Seg 23 Mar 2015, 14:52

Jader escreveu:Como que foi feito a substituição? Num trocamos 2θ por u, então como u = 2θ temos que:

Quando θ = 0 (limite inferior), então u = 2*0 => u=0(novo limite inferior)

Quando θ = 3π/2 (limite superior), então u=2(3π/2) => u=3π(novo limite superior)

Agora eu entendi Very Happy

. Só mais uma coisa, pq normalmente quando usamos o método da substituição, não é preciso trocar o valor dos limites, mas nesse caso foi preciso?

por **Mimetist** Seg 23 Mar 2015, 15:02

É apenas uma forma de se calcular uma integral definida por substituição.

Você pode fazer sem mudar os limites de integração desde que se lembre que quando for calcular o valor da integral, deve retornar à variável anterior para calculá-la.