Análise Combinatória-UNB

UNB- Um levantamento estatístico efetuado em uma videolocadora permitiu estabelecer a seguinte distribuição dos filmes alugados, disponíveis apenas nos formatos VHS e DVD:

* 60% são filmes produzidos nos Estados Unidos da América(EUA, sendo que 1/4 desses está em formato DVD);
* 25% são filmes nacionais, sendo que 1/5 desses está em formato DVD;
* Os demais são filmes de origem Europeia, sendo que 2/3 deles estão no formato VHS.

Na locadora mencionada acima, considere que, em uma determinada ocasião, foram devolvidas 17 fitas VHS que estavam alugadas.Destas, 8 foram produzidas nos EUA, 4 são de origem europeia e 5 são filmes nacionais.Essas fitas foram colocadas em uma prateleira que possuía 17 lugares vagos.Nessa situação, julgue os itens a seguir:

1- Se todas as 17 fitas forem distintas, então o número de maneiras diferentes de organizá-las nessa prateleira será divisível por todos os números primos positivos menores que 18.

2- Se todas as fitas forem distintas, mantendo-se todos os filmes europeus juntos, independentemente de sua ordenação, pode-se organizar as fitas na prateleira de 4!x13! maneiras distintas.

3- O número de maneiras distintas de se organizar essas fitas, fazendo que as de mesma origem fiquem sempre juntas, é divisível por 3^5.

4- Considere que: das 8 fitas dos EUA, 6 sejam cópia do mesmo filme; das 5 brasileiras, 4 sejam cópias do mesmo filme; das 4 europeias, 2 sejam cópias do mesmo filme;todas as demais são distintas.Nesse caso, o número de maneiras diferentes em que se pode ser organizada a prateleira é divisível por 2^7x3^3x5^2x7^2

                                 
Gabarito: CEEC

Bom, o maior problema pra mim é o item 3,os outros eu consegui resolver sem problemas, porém pelo fato de estar errando o 3º item, pode ser que meu raciocínio para as outras esteja erra-
do.Minhas respostas:

1-Número de maneiras de organizá-las: 17!, sendo portanto divisível por qualquer número primo menor que 18.

2-Número de possibilidades totalizando 4!x13!x14, sendo portanto maior que 4!x13!.

3-Total de possibilidades: 4!x8!x5!x6, sendo divisível por 3^5. (Não sei onde está o erro, provavelmente no número de possibilidades).

4-Total de possibilidades: Permutação de 17 elementos, com 6 repetidos, 4 repetidos e 2 repetidos, totalizando 17!/6!x4!x2!, sendo portanto divisível por 2^7x3^3x5^2x7^2.


Desde já agradeço a ajuda.^^

Estou fazendo esse comentário para ver se alguém responde