Valor máximo do produto

por Harim Ter 17 Mar 2015, 16:26

Teria algum jeito de encontrar o máximo valor de sen²θ.cosθ usando ferramentas do ensino médio ?
Se conseguirem, postem aí !

por **Elcioschin** Ter 17 Mar 2015, 18:32

y = sen²x.cos²x ---> y = sen²x.(1 - sen²x) ---> y = - (sen²x)² + sen²x

A função é uma parábola como a concavidade voltada para baixo. Ela tem valor máximo no vértice

Calcule sen²x do vértice e depois y do vértice

por Harim Ter 17 Mar 2015, 18:37

Elcioschin escreveu:y = sen²x.cos²x

Na verdade é sen²x.cosx; cosx e não cos²x

por **Elcioschin** Ter 17 Mar 2015, 18:48

Acho que somente com derivadas mas é muito fácil: basta saber derivadas de funções trigonométricas e derivadas básicas:

y = senx ----> y' = cosx
y = cosx ----> y' = - senx

y = sen²x.cosx --> y' = (sen²x)'.cosx + sen²x.(cosx)'

y' = (2.senx.cosx).cosx + sen²x.(-senx)

y' = 2.senx.cos²x - sen³x

Transforme cos²x para 1 - sen²x e fatore
Faça y' = 0 e calcule os valores de x e depois de ymáx

por **jango feet** Ter 17 Mar 2015, 18:51

Na verdade derivadas é assunto de E.M, o problema é que a maioria dos colégios atuais atropelam o assunto.

por **jango feet** Ter 17 Mar 2015, 18:53

Elcio, não entendi a parte em que você decompõe a função inicial em uma soma, você aplicou regra da cadeia? o que você fez?

por Harim Ter 17 Mar 2015, 19:44

Hmm, ainda não entendo de derivadas .. :s
Mas obrigado. Pelo menos agora sei que não dá com outra ferramenta.
Tentei desigualdade mas não deu certo

por **Carlos Adir** Ter 17 Mar 2015, 21:30

Temos a função:
$f(x)=sen^2 \ x \cdot cos \ x$
$\\ f'(x)=2 \cdot cos \ x \cdot sen \ x \cdot cos \ x + \left(-sen \ x \right )\cdot sen^2 \ x \\ f'(x)=sen \ x \left(2cos^2 \ x - sen^2 \ x \right ) \\ 0 = sen \ x \left(2cos^2 \ x - sen^2 \ x \right ) \Rightarrow x=0 \\ 2 cos^2 \ x - sen^2 \ x = 3 cos^2 \ x - 1 =0 \Rightarrow cos \ x = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$\\ cos \ x = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow sen \ x = \sqrt{1-cos^2 \ x} \Rightarrow sen \ x = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \\ \Rightarrow sen^2 \ x \cdot cos \ x = \dfrac{6}{9} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}$
Este é o valor máximo.

Não vejo outra maneira de resolução para esta questão.
Por métodos do ensino médio tentei e não saiu.