Números complexos.

UFBA - Considere os números complexos z = -1+sqrt(3)i e w = sqrt(3) + i e sejam A e B os pontos que representam , no plano cartesiano , os complexos zw e (z^2)/w , respectivamente. A partir dessas informações , determine o cosseno do ângulo AOB , sendo O a origem do plano cartesiano.

Minha resolução 
1) zw =-2sqrt(3)+2i e (z^2)/w = -sqrt(3)-i
2)Ponto A -----> -2sqrt(3)+2i e Ponto B ------> -sqrt(3)-i
3) Marcando os pontos no plano , tenho A no segundo quadrante e B no terceiro quadrante.
4)Sendo θ o argumento de zw e β o argumento de (z^2)/w , calculei θ e β e então concluí que AOB = β - θ = 60 graus. --->  cos60 = 1/2

Tem alguma solução diferente , mais simples ?

zw = (-1 + i√3)(√3 + i) = -2√3 + 2i ---> A(-2√3, 2)
z²/w = (-1 + i√3)²/(√3 +i)= -√3 - i ---> B(-√3, -1)

Temos os vetores:
OA = (-2√3, 2) ---> |OA| = 4
OB = (-√3, -1) ---> |OB| = 2

Do produto escalar, temos:
cosa = (OA.OB)/(|OB||OA|) = (6 - 2)/(4*2) = 1/2 ---> a = 60°.

Obs: números complexos não são representados no plano cartesiano, como está no enunciado, e sim no plano Argand-Gauss / plano complexo.

Como os afixos A e B são resultado de produtos e/ou quocientes, tem, sim, uma forma mais simples que é passar os complexos para vetores na forma polar -- e com os números destes complexos, isto está facinho. Nesta forma, quanto aos ângulos, os produtos viram soma e os quocientes viram subtração.

Medeiros, onde eu consigo um negócio legal desse de escrever igual ao teu?

Ashitaka,
estou usando um tablet, do tipo Note da Samsung, que tem uma caneta de escrever na tela -- o fabricante chama de note pen. Praticamente nem ligo mais o desktop porque com este posso ficar em qualquer lugar da casa.

Mas existe um dispositivo pad, tal qual para mouse, que é ligado a uma porta do computador e que tem uma caneta específica com a qual se escreve/desenha no pad e sai diretamente na tela -- claro que há um software a ser instalado. É um dispositivo profissional usado por designers e, pelo que ouvi, custa bem mais caro.

Abraço.

Legal, Medeiros! Obrigado pela dica, não sabia desse da Samsung.
Abraço.

Ashitaka, esqueci de comentar um detalhe desabonador.
O teclado é na tela e, embora seja Português(BR), não é ABNT2, ou seja, não tem a tecla ALT+GRD. Desta forma só consigo fazer, por exemplo, x^2. Para digitar x², só consigo graças ao utilitário do fórum e dá um trabalhão danado (fora do fórum, então, nem pensar!).

Além do que, este desgraçado vive querendo sugerir palavras, a partir do seu início, e corrigir digitação. Não posso por um ponto ou parênteses que ele logo põe um espaço após; ou acentua a vogal coordenativa aditiva "e" ou a vogal "a" em "esta"; ou deixa eco na digitação, ex.: fraternalmente = (se eu bobear) fraternidade na mente . Tenho que ficar muito atento e ainda NÃO DESCOBRI COMO DESLIGA ESTA JOÇA.

Na verdade, não há o que se compare ao teclado do desktop.

Realmente não há o que se compare ao teclado do desktop. Mas veja só, tem como melhorar sua vida. O sistema aí é Android, certo? O Google Play / Play Store disponibiliza aplicativos de teclados também. Eu uso o teclado Swiftkey, procure e baixe para testar; é gratuito e permite uma digitação bem rápida. E quando segura a tecla nele, aprecem outras opções. Por ex, ao segurar o 2, aparece o ² para ser usado. Também tem algumas frações básicas, ³ e expoente 4. Vale a pena dar uma olhada. Eu não consigo passar 1 dia com esses teclados nativos. Ah, tem também opção de escolher qual quer que seja a ação dele após colocar ponto final, assim como a escolha para iniciar frases sempre com letra maiúscula, dentre muitas outras opções.
Experimente e me diga o que acha!

Play store. .. O sistema é Android, sim. Valeu pela dica Ashitaka, obrigado.
Na verdade não quero que as máquinas façam nada automaticamente por mim, prefiro errar sozinho.