Inequações de primeiro grau

por vitormnk Seg 23 Fev 2015, 19:51

Dê o conjunto-verdade de 0 (menor ou igual) x-1/X-2 < 1/4

Resposta: V=]2/3 ; 1]

por **Carlos Adir** Seg 23 Fev 2015, 20:03

$\\ \dfrac{x-1}{x-2} \le \dfrac{1}{4} \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \dfrac{x-1}{x-2}-\dfrac{1}{4} \le 0 \\ \dfrac{4(x-1)-1\left(x-2 \right )}{4(x-2)}\le 0 \\ \dfrac{4x-4-x+2}{4(x-2)} \le 0 \Rightarrow \dfrac{3x-2}{4(x-2)}\le 0$

Podemos analisar agora:
Se x for muito grande, por exemplo 10, temos que o numerador e o denominador ficam positivos.
Se x for muito pequeno, por exemplo, 0, temos que o numerador e o denominador ficam negativos. Tornando a desigualdade positiva.
Ou seja, temos um intervalo ponto em que o numerador será positivo e o denominador negativo. E será então:
$3x-2 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge 2 \Rightarrow x \ge \dfrac{2}{3}$
E o denominador será negativo:
$4(x-2) <0 \Rightarrow x-2 <0 \Rightarrow x<2$

Ou seja, no intervalo entre 2/3 e 2, temos que satisfazerá a condição.
Então:
$\dfrac{2}{3} \le x<2$
O conjunto solução é:
$S=\left\{x \in \mathbb{R}: \dfrac{2}{3} \le x<2 \right \}$

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