segmentos

O segmento CD é a projeção ortogonal do segmento AB sobre a reta r : x − y = 2, onde C = (−1, −3).
Se o segmento AB está contido na reta s : x − 2y = 1 e a reta r intercepta o segmento AB  no seu ponto médio,
determine os pontos A, B e D.

Marina

Você não está respeitando as Regras do fórum: postou a mesma questão duas vezes (bloqueei a 1ª)
Além disso mostrei para você o erro de português do enunciado: ou você não soube interpretar o enunciado e não entendeu (o que não é bom) ou então entendeu e preferiu não corrigir (o que é pior).


Reta r ---> x - y = 2 ---> y = x - 2 ---> Passa por D(0, -2) e E(2, 0) ---> m = 1

Reta s ---> x - 2y = 1 ---> y = (1/2).x - 1/2 ---> Passa por F(0, -1/2) e G(1, 0) ---> m = 1/2

Ponto M de encontro das retas r, s ---> xM - 2 = (1/2)xM - 1/2 ---> xM = 3 ---> yM = 1 ---> M(3, 1)

Ponto C sobre a reta r ---> C(-1, -3)

Como C é a projeção ortogonal de A sobre r o segmento AC deve ser perpendicular a r

Equação da reta t que passa por C e é perpendicular a r ---> m.m' = -1 ---> 1.m' = -1 ---> m' = -1

y - (-3) = - 1.[x - (-1)] ---> y + 3 = - x - 1 ---> y = - x - 4

O ponto A é o ponto de encontro dedas retas s e t --->

(1/2).xA - 1/2 = - xA - 4 ---> (3/2).xA = - 7/2 ---> xA =  -7/3 ---> yA = - 5/3 ---> A(-7/3, - 5/3)

O ponto M é o ponto médio de AB ----> Calcule AM ---> BM = AM ---> Conclua