Função bijetora

Considere a função f: R _- --> [-1; +oo[ e f(x) = x² - 1. Prove que f é bijetora e determine f^-1.
Obs: note que o D(f) é nos reais não-positivos.

A função não é bijetora...
f(-1)=(-1)²-1=0=1-1=(1)²-1=f(1)
A função inversa seria mais facil definir:
f(x)=x²-1
f(x)+1=x²
|x|=√[f(x)+1]
Logo, a inversa é fˉ¹(x)=√[x+1]

Carlos, a função está definida nos reais não-positivos, logo, não faz sentido você dizer que é igual a f(1), pois 1 não está no domínio.
f(x) = x² - 1 definida em R- seria uma parábola voltada pra cima que só tem o ramo esquerdo e é estritamente decrescente, portanto é bijetora. Só não sei provar algebricamente.
Além disso, seguindo seu raciocínio de f não ser bijetora, você não poderia ter definido a inversa de f, pois só existe a inversa se f for bijetora.

Ah sim, olhei rapidamente apenas a imagem e inverti com o domínio.
Não sei "provar" exatamente, mas caso dê uma ideia:
Interpretando que Rˉ é o conjunto dos reais negativos, incluindo o 0, então temos:
O valor de mínimo é o vértice da função, isto é, a função 
f(x)=x²-1 , o vértice da parábola será o ponto (0, -1), a partir dai, como o coeficiente é positivo, temos que a função crescerá a partir que se distância do vértice.
Como o domínio é limitado até o valor de 0, então a função crescerá apenas para o valor negativo.
O gráfico da função:

Daria pra explicar melhor com conceito de derivada e de continuidade, mas não sei explicar isto tão bem.
Mas caso algo ajude, está ai.

Mas Carlos, isso foi exatamente o que eu disse pra te mostrar que ela é bijetora hahahahahaha mas valeu por tentar