Área de um retãngulo inscrito em um triângulo

por jaques104 Dom 08 Fev 2015, 15:12

Consideremos um trângulo retângulo de catetos medindo 6m e 8m. Determine as dimensões de um retângulo que tem um de seus lados sobre a hipotenusa do triângulo e os dois vértices do lado oposto sobre os catetos de modo que a área do retângulo seja MÁXIMA.
Área de um retãngulo inscrito em um triângulo 4086350623d67783ac14d787fa9b4b24

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por **Euclides** Dom 08 Fev 2015, 16:47

Vamos dar uma solução analítica com análise de funções.

- colocaremos a origem de um sistema cartesiano num dos vértices do triângulo
- calcularemos as equações das retas suportes dos catetos. Usaremos a tangente do ângulo da reta que passa pela origem para definí-la e a outra será a perpendicular que passa por (10,0)

O gráfico mostra a situação

Área de um retãngulo inscrito em um triângulo Art_142

Área de um retãngulo inscrito em um triângulo Art_142

a área do retângulo inscrito é S=f(x).\Delta x

$\\\frac{4x_1}{3}=-\frac{3x_2}{4}+\frac{15}{2}\;\;\to\;\;x_2=\frac{90-16x_1}{9}\\\\x_2-x_1=\frac{90-25x_1}{9}\\\\S=f(x).\Delta x\;\;\;\to\;\;\;S=\frac{4x}{3}\cdot\frac{90-25x}{9}\;\;\to\;\;S=\frac{360x-100x^2}{27}\\\\S=\frac{40x}{3}-\frac{100x^2}{27} \;\;\;\text{cujo valor m\'aximo \'e igual a }12$

por **Elcioschin** Dom 08 Fev 2015, 20:28

Outra solução com relação de triângulos

Seja h a altura do triângulo retângulo em relação à hipotenusa:

h.10 = 6.8 ---> h = 4,8

(h - y)/x = h/10 ---> (4,8 - y)/x = 4,8/10 ---> y = - 0,48x + 4,8

S = x.y ---> S = x.(- 0,48x + 4,8 ) ---> S = - 0,48x² + 4,8.x

xV = - b/2a ---> xV = - 4,8/2.(-0,48) ---> xV = 5

Smáx = -0,48.5² + 4,8.5 ---> Smáx = 12