Austrália - Números Complexos

por Lord Mentha Sex 30 Jan 2015, 16:20

z' = conjugado de z
w' = conjugado de w

"Sejam z e w números complexos, de modo que:

(1-i)*z'+i*w=i
2z+(1+i)*w'=0

Suponha que a=-Re(z), b=-Im(z), c = Re(w) e n é um inteiro positivo, tal que n=2c+2007a+2007b+2007a^2+2007b^2+2007a^3+2007b^3+...

Podemos afirmar que a soma dos algarismos de n é:

A)19
B)18
C)17
D)16
E)15
"
Não tenho a resposta.
Eaí, tem como me ajudar nessa?

por **JoaoGabriel** Sex 30 Jan 2015, 21:54

$\\z = -a - bi\therefore w = c + di$

Substituindo nas equações dadas:

$\\(1-i)(-a+bi) + i(c+di) = i\\\\-a+bi+ai+b+ci -d -i = 0\\\\(-a+b-d) + i(a+b+c-1)=0\\\\\to\boxed{b = a+d}\therefore \boxed{a+b+c =1}$

$\\2(-a-bi) + (1+i)(c-di)= 0\\\\-2a -2bi +c-di+ci+d = 0\\\\(-2a+c + d)+i(-2b-d+c)=0\\\\\to\boxed{c+d = 2a}\therefore \boxed{c=2b+d}$

Organizando o sistema de forma matricial, temos:

$\\\begin{bmatrix} 1 &-1 &0 &1 \\ 1& 1 & 1 & 0\\ 2& 0& -1& -1\\ 0& -2&1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a \\b \\ c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

Determinando a,b,c através da regra de Cramer, obtemos:

$\\a = b = \frac {1}{4}\therefore c = \frac {1}{2}$

Portanto n pode ser escrito:

$\\n = 1+2007(\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...)\times 2$

Note que o somatório é simplesmente a soma de uma PG infinita de razão 1/4 e termo inicial 1/4. Portanto:

$\\S = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} =\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3}$

Logo:

$\\n = 1+2007(\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...)\times 2\\\\n= 1 + 2007\times \frac{2}{3} = 1339$

Portanto a soma dos dígitos é 1 + 3 + 3 + 9 = 16

Alternativa D

Abraços!

por Lord Mentha Sáb 31 Jan 2015, 09:41

Mandou bem! Valeu!

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