Polinômios com raiz imaginária

Um polinômio p(x)=x^4 -mx^3 +nx^2 +tx +s é divisível por x^2 + 4x + 4 e duas de suas raízes são (3-i) e (3+i). Determine:

a) O valor de m e o valor de s.
b) O resto da divisão de p(x) por x+1

Desde já agradeço pela ajuda na resolução

Olá!

Letra a:

A maneira mais fácil é pelas Relações de Girard. Como p(x) é divisível por x²+4x+4 = (x+2)², suas raízes são -2 (raiz dupla), 3-i e 3+i. Então, pelas Relações de Girard:

-2 + (-2) + (3-i) + (3+i) = -(-m) .:. m = 2
(-2)*(-2)*(3-i)*(3+i) = s .:. 4*(3²-i²) = s .:. s = 40

Letra b:

Agora, para encontrar os outros valores, o caminho mais rápido é o Método das Chaves:

 x^4 - 2x³ + nx² + tx + 40           | x²+4x+4
-x^4 - 4x³ - 4x²                              x² - 6x + (n+20)
        -6x³ + (n-4)x² + tx + 40
         6x³ + 24x² + 24x
                  (n+20)x² + (t+24)x + 40
                 -(n+20)x² - (4n+80)x - (4n+80)
                                   (-4n+t-56)x + (-4n-40) --> Resto

Como p(x) é divisível por x²+4x+4:

-4n-40 = 0 .:. -4n = 40 .:. n = -10 e -4n+t-56 = 0 .:. 40+t-56 = 0 .:. t = 16

Assim, p(x) = x^4 - 2x³ - 10x² + 16x + 40. Logo, o resto na divisão de p(x) por (x+1) é:

p(-1) = (-1)^4 - 2*(-1)³ - 10*(-1)² + 16*(-1) + 40 .:. p(-1) = 1 + 2 - 10 - 16 + 40 .:. p(-1) = 17

É isso.

Att.,
Pedro

Obrigada, Pedro ^^
Tbm deu para resolver fatorando a equação do 4° grau e dps substitui o valor das raízes (no caso: x+i, x-i, -2 e -2). Os números complexos acabam sumindo na distribuição. Depois fazemos identidade e conseguimos achar o valor das incógnitas.