Raiz dupla em polinômios
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Raiz dupla em polinômios
A equação
tem uma raiz dupla igual a zero.
Determinar a, b e o conjunto solução da equação.
R: a=-1, b=3, S={0,-1,3}
Obs: Sei que na resolução será preciso igualar uns coeficientes a zero e outros não, mas não sei a razão disso.
tem uma raiz dupla igual a zero.
Determinar a, b e o conjunto solução da equação.
R: a=-1, b=3, S={0,-1,3}
Obs: Sei que na resolução será preciso igualar uns coeficientes a zero e outros não, mas não sei a razão disso.
larimacellari- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 157
Data de inscrição : 09/12/2012
Idade : 29
Localização : Paulínia, SP/Brasil
Re: Raiz dupla em polinômios
Para um polinômio ter raiz dupla zero deve ser possível colocar x² em evidência.
Para isto o termo com x^1 e o termo independente de x devem ser nulos
Faça isto, calcule a, b, coloque x² em evidência e calcule as outras duas raízes
Para isto o termo com x^1 e o termo independente de x devem ser nulos
Faça isto, calcule a, b, coloque x² em evidência e calcule as outras duas raízes
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71437
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Raiz dupla em polinômios
Interessante! Entendi. Obrigada
larimacellari- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 157
Data de inscrição : 09/12/2012
Idade : 29
Localização : Paulínia, SP/Brasil
Re: Raiz dupla em polinômios
Não é só interessante; é uma consequência da forma fatorada do polinômio:
Todo polinômio da forma P(x) = a.x^n + b.x^(n-1) + ......... j.x + k , com as n raízes iguais a r, s, t u...... etc. pode ser fatorado assim:
P(x) = a.(x - r).(x - s).(x - t).(x - u) ..........
Se apenas uma raiz for nula, por exemplo r = 0, temos:
P(x) = a.(x - 0).(x - s).(x - t).(x - u) .......... ----> P(x) = a.x.(x - s).(x - t).(x - u) ..........
Se duas raízes forem nulas, por exemplo r = s = 0. temos:
P(x) = a.(x - 0).(x - 0).(x - t).(x - u) .......... -----> P(x) = a.x².(x - t).(x - u) ..........
Viu porque apareceu o termo x² em evidência?
Todo polinômio da forma P(x) = a.x^n + b.x^(n-1) + ......... j.x + k , com as n raízes iguais a r, s, t u...... etc. pode ser fatorado assim:
P(x) = a.(x - r).(x - s).(x - t).(x - u) ..........
Se apenas uma raiz for nula, por exemplo r = 0, temos:
P(x) = a.(x - 0).(x - s).(x - t).(x - u) .......... ----> P(x) = a.x.(x - s).(x - t).(x - u) ..........
Se duas raízes forem nulas, por exemplo r = s = 0. temos:
P(x) = a.(x - 0).(x - 0).(x - t).(x - u) .......... -----> P(x) = a.x².(x - t).(x - u) ..........
Viu porque apareceu o termo x² em evidência?
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71437
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Raiz dupla em polinômios
Elcio, então se tivermos um polinômio de grau n com uma raiz 0 de multiplicidade m, o número máximo de termos no polinômio será (n-m+1), certo? Exemplo:
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 (raiz 0 com multiplicidade 4) --> c=0, d=0, e=0, f=0 --> ax^5+bx^4=0 --> (5-4+1=2 termos)
ou estou errado?
ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 (raiz 0 com multiplicidade 4) --> c=0, d=0, e=0, f=0 --> ax^5+bx^4=0 --> (5-4+1=2 termos)
ou estou errado?
JuniorE- Jedi
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Data de inscrição : 21/04/2013
Idade : 28
Localização : Florianópolis - SC
Re: Raiz dupla em polinômios
Sim, é isto mesmo. Veja
a.x^5 + b,x^4 = 0 ----> a.x^4.(x + b/a) = 0
São 4 raízes nulas (x^4) e uma raiz x = - b/a
a.x^5 + b,x^4 = 0 ----> a.x^4.(x + b/a) = 0
São 4 raízes nulas (x^4) e uma raiz x = - b/a
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71437
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
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