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Raiz dupla em polinômios

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Raiz dupla em polinômios Empty Raiz dupla em polinômios

Mensagem por larimacellari Seg 23 Set 2013, 12:23

A equação 

Raiz dupla em polinômios Gif

tem uma raiz dupla igual a zero.
Determinar a, b e o conjunto solução da equação.

R: a=-1, b=3, S={0,-1,3}

Obs: Sei que na resolução será preciso igualar uns coeficientes a zero e outros não, mas não sei a razão disso.

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Mensagem por Elcioschin Seg 23 Set 2013, 16:17

Para um polinômio ter raiz dupla zero deve ser possível colocar x² em evidência.

Para isto o termo com x^1 e o termo independente de x devem ser nulos 

Faça isto, calcule a, b, coloque x² em evidência e calcule as outras duas raízes
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Mensagem por larimacellari Seg 23 Set 2013, 17:16

Interessante! Entendi. Obrigada

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Mensagem por Elcioschin Seg 23 Set 2013, 21:30

Não é só interessante; é uma consequência da forma fatorada do polinômio:

Todo polinômio da forma P(x) = a.x^n +  b.x^(n-1) + ......... j.x + k , com as n raízes iguais a r, s, t u...... etc. pode ser fatorado assim:

P(x) = a.(x - r).(x - s).(x - t).(x - u) ..........

Se apenas uma raiz for nula, por exemplo r = 0, temos:  

P(x) = a.(x - 0).(x - s).(x - t).(x - u) .......... ----> P(x) = a.x.(x - s).(x - t).(x - u) ..........

Se duas raízes forem nulas, por exemplo r = s = 0. temos:

P(x) = a.(x - 0).(x - 0).(x - t).(x - u) .......... -----> P(x) = a.x².(x - t).(x - u) ..........

Viu porque apareceu o termo x² em evidência?
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Raiz dupla em polinômios Empty Re: Raiz dupla em polinômios

Mensagem por JuniorE Seg 23 Set 2013, 21:58

Elcio, então se tivermos um polinômio de grau n com uma raiz 0 de multiplicidade m, o número máximo de termos no polinômio será (n-m+1), certo? Exemplo:

ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0 (raiz 0 com multiplicidade 4) --> c=0, d=0, e=0, f=0 --> ax^5+bx^4=0 --> (5-4+1=2 termos)

ou estou errado?

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Mensagem por Elcioschin Seg 23 Set 2013, 23:02

Sim, é isto mesmo. Veja

a.x^5 + b,x^4 = 0 ----> a.x^4.(x + b/a) = 0

São 4 raízes nulas (x^4) e uma raiz x = - b/a
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