Desigualdade

por **Carlos Adir** Qui 01 Jan 2015, 18:32

Tentemos provar por indução:

Seja P(n) a proposição:
$\\ P(n): \ \ \ \ \sqrt{\sum_{j=1}^n(a_j+b_j)^2}\le \sqrt{\sum_{j=1}^na_j^2}+\sqrt{\sum_{j=1}^nb_j^2}$

Para n=1:
$\\ \sqrt{\sum_{j=1}^1(a_j+b_j)^2}\le \sqrt{\sum_{j=1}^1a_j^2}+\sqrt{\sum_{j=1}^1b_j^2} \\ \sqrt{(a_1+b_1)^2}\le \sqrt{a_1^2}+\sqrt{b_1}^2 \\ |a_1+b_1| \le |a_1|+|b_1| \\$

Temos pela desigualdade modular, que vale para n=1

Se P(n) é verdadeira, então P(n+1) também é verdadeira:
$\\ P(n): \ \ \ \ \sqrt{\sum_{j=1}^n(a_j+b_j)^2}\le \sqrt{\sum_{j=1}^na_j^2}+\sqrt{\sum_{j=1}^nb_j^2}$
$\\ \left|\sum_{j=1}^n(a_j+b_j)^2\right|\le \left(\sqrt{\sum_{j=1}^n a_j^2}+\sqrt{\sum_{j=1}^{n}b_j^2} \right )^2 \\ = \left|\sum_{j=1}^n a_j^2 \right|+2 \cdot \sqrt{\left(\sum_{j=1}^n a_j^2 \right ) \cdot \left(\sum_{j=1}^n b_j^2 \right )}+\left|\sum_{j=1}^n b_j^2 \right| \\$

$\sqrt{\sum_{j=1}^{n+1}(a_j+b_j)^2} \le \sqrt{\left(\sum_{j=1}^{n}(a_j+b_j)^2\right)+(a_{n+1}+b_{n+1})}$

$=\sqrt{\left(\sum_{j=1}^{n}(a_j+b_j)^2\right)+(a_{n+1}+b_{n+1})^2} \le \sqrt{\left(\sqrt{\sum_{j=1}^n a_j^2} +\sqrt{\sum_{j=1}^n a_j^2}\right)^2+(a_{n+1}+b_{n+1})^2}$

Pela desigualdade de quadrados, isto é,
$a^2+b^2 \le (a+b)^2$
Então:
$\sqrt{\left(\sqrt{\sum_{j=1}^n a_j^2}+ \sqrt{\sum_{j=1}^n b_j^2} \right )^2+(a_{n+1}+b_{n+1})^2} \le \sqrt{\left(\sqrt{\sum_{j=1}^n a_j^2}+a_{n+1}+\sqrt{\sum_{j=1}^nb_j^2}+b_{n+1} \right )^2} \\ = \left|\sqrt{\sum_{j=1}^n a_j^2}+a_{n+1} + \sqrt{\sum_{j=1}^n b_j^2}+b_{n+1}\right|$

$\left|\sqrt{\sum_{j=1}^n a_j^2}+a_{n+1} + \sqrt{\sum_{j=1}^n b_j^2}+b_{n+1}\right| \le \left|\sqrt{\sum_{j=1}^n a_j^2 + a_{n+1}^2}+ \sqrt{\sum_{j=1}^nb_j^2 + b_{n+1}^2}\right| \\ =\left|\sqrt{\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2}+ \sqrt{\sum_{j=1}^{n+1}b_j^{2}} \right|$

Segue então que P(n) é verdadeira.

por CarlosArguilar Qui 01 Jan 2015, 21:15

Dúvida:
O enunciado que coloquei era de outra questão (e isso era vísivel pois foi citado até um número c que nem aparece no problema), no enunciado original ( o qual já coloquei) a1 até an e b1 até bn são números reais dados, ou seja, não sei se você pode criar outros números (a_n+1 e b_n+1 ) pois eles não foram dados pelo problema e assim a indução não seria possível, o que eu disse é coerente ou não?
PS: já achei outra solução para a questão.

por **Carlos Adir** Qui 01 Jan 2015, 21:23

Não, porque o principio de indução não é "barrado" pelo limite dado, pois vale para qualquer n natural
Por exemplo, seja a_1 = 1; a_n = a_(n-1) + 1, então:
$\sum_{j=1}^{n}a_j = \dfrac{n(n+1)}{2}$

Minha resposta ficou meio confusa(e grande por sinal), mas o principio de indução também serve para este caso.

por CarlosArguilar Qui 01 Jan 2015, 22:04

Ok então, mas ainda tenho dúvidas quanto a sua resolução, se puder explicar:

Qual sua ideia ao fazer isto

$Desigualdade Gif$
?

$Desigualdade Gif.latex?a_1%5E2+2a_1b_1+b_1%5E2%20+%20...%20+%20a_n%5E2+2a_nb_n+b_n%5E2%20%5C%20+%20%5C%20a_%7Bn+1%7D%5E2+2a_%7Bn+1%7Db_%7Bn+1%7D+b_%7Bn+1%7D%5E2%20%5C%5C%20%5Cleq%20%5C%5C%5C%5C%20a_1%5E2+2a_1b_1+b_1%5E2%20+%20..$

Que é o mesmo que dizer que:

$Desigualdade Gif$
$Desigualdade Gif$
Mas isto é uma coisa que só vale para $Desigualdade Gif$ .

por **Carlos Adir** Qui 01 Jan 2015, 22:15

É... realmente, esqueci de uma coisinha, mas com tanto ao quadrado, somatórios e tudo mais acaba sendo inevitável.
Foi nesta passagem:
Desigualdade SAp7Fmn

Na verdade é o seguinte:
$\sqrt{\sum_{j=1}^{n+1}(a_j+b_j)^2}=\sqrt{\left(\sum_{j=1}^{n}(a_j+b_j)^2 \right )+(a_{n+1}+b_{n+1})^2}$
Mas pode ver que na igualdade seguinte está o valor correto:
Desigualdade WKvYKIp

por CarlosArguilar Sex 02 Jan 2015, 11:23

$Desigualdade Gif$

Mas para provar que isso é verdade teria que provar que
$Desigualdade Gif$

não é? Pois o segundo membro é a expressão original que foi dada no enunciado (mas agora somando até n+1) e o que queria provar com a indução era que

$Desigualdade Gif$
correto?
E outra coisa que eu não entendi foi de onde tirou o segundo membro (na verdade não entendi de onde tirou essa desigualdade inteira) dessa desigualdade já que ele não aparece assim em nenhuma outra expressão da sua solução.

por **Carlos Adir** Sex 02 Jan 2015, 13:47

Seja P(n) a proposição dada, pelo princípio de indução, devemos mostrar que pra
i) n=1 é verdade.
ii) Se P(n) é verdadeira para todo n, então P(n+1) também é verdade

Assim, como acima, deu-se que para n=1 é verdade.
Então:
$P(n): \ \ \ \sqrt{\sum_{j=1}^n \left(a_j+b_j \right )^2} \le \sqrt{\sum_{j=1}^{n}a_j^2}+ \sqrt{\sum_{j=1}^nb_j^2}$
Se vale para n+1, então devemos encontrar:
$P(n+1): \ \ \ \sqrt{\sum_{j=1}^{n+1} \left(a_j+b_j \right )^2} \le \sqrt{\sum_{j=1}^{n+1}a_j^2}+ \sqrt{\sum_{j=1}^{n+1}b_j^2}$

Se quiser algo mais resumido e não tão bagunçado, está abaixo:

Spoiler:

Do meio que fiz está errado Neutral

, até então não sei fazer essa questão.
Se um mestre indicar o caminho, ou mostrar a resolução, agradecemos :/

por CarlosArguilar Sex 02 Jan 2015, 14:58

Solução:
Como os dois membros são reais não negativos, basta mostrar que o quadrado do primeiro membro é menor ou igual que o quadrado do 2º membro:
$Desigualdade Gif.latex?%5Cleft%20%28%20a_1+b_1%20%5Cright%20%29%5E2+%5Cleft%20%28%20a_2+b_2%20%5Cright%20%29%5E2+...+%28a_n+b_n%29%5E2%5Cleq%20%5Cleft%20%28%20%5Csqrt%7Ba_1%5E2+a_2%5E2+...+a_n%5E2%7D+%5Csqrt%7Bb_1%5E2+b_2%5E2+..$
Desenvolvendo os quadrados $Desigualdade Gif$ , segue que o quadrado do primeiro membro é igual a

$Desigualdade Gif.latex?%28a_1%5E2+2a_1b_1+b_1%5E2%29+%28a_2%5E2+2a_2b_2+b_2%5E2%29+..$
e o do segundo membro é
$Desigualdade Gif.latex?%5Cleft%20%28%20a_1%5E2+a_2%5E2+...+a_n%5E2%20%5Cright%20%29+2%5Csqrt%7Ba_1%5E2+a_2%5E2+...+a_n%5E2%7D%5Csqrt%7Bb_1%5E2+b_2%5E2+...b_n%5E2%7D%5C%5C%20+%20%28b_1%5E2+b_2%5E2+..$
Como em ambas as expressões temos a parcela

$Desigualdade Gif.latex?%5Cleft%20%28%20a_1%5E2+a_2%5E2+...+a_n%5E2%20%5Cright%20%29%20+%20%28b_1%5E2+b_2%5E2+..$
a desigualdade do enunciado equivale a

$Desigualdade Gif.latex?2%28a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n%29%5Cleq%202%5Csqrt%7Ba_1%5E2+a_2%5E2+...a_n%5E2%7D%5Csqrt%7Bb_1%5E2+b_2%5E2+..$
Que é exatamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz . $Desigualdade Gif$

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