Geometria Analítica - Região Triangular

por Filipe Luz Sáb 31 Jul 2010, 21:17

Esta daqui é meio cascuda!

Um triângulo tem como vértices os pontos A(5,3) B(4,2) e C(2,K). A Área da região triangular ABC mede 8 unidades nessas condições, calcule o valor de k.

Tá ,ok o s pontos de cada vértice do triangulo,quer descobrir o k (o y do vertice C ) mas que relação tem a afirmação: "mede 8 unidades a área" ? Tem algo á mais que devo fazer ? ou resolvo normal ?

por **Euclides** Sáb 31 Jul 2010, 22:14

É meio cascuda sim. Leve em conta uma coisa: isso é geometria, e geometria pede desenhos. Faça sempre uns esboços para tentar "enxergar" as coisas.

Geometria Analítica - Região Triangular Trikl

Geometria Analítica - Região Triangular Trikl

A informação sobre a área do triângulo é vital, pois ela nos permite calcular a altura, sendo a base a distância AB:

$A_{\Delta}=\frac{b\times h}{2}\,\,\to\,\,8=\frac{\sqrt{2}\times h}{2}\,\,\to\,\,h=8\sqrt{2}$

precisamos de um ponto C cuja distância à reta suporte de AB seja igual à altura calculada. A fórmula de distância de ponto à reta:

$\\reta:\,\,ax+by+c=0\hspace{25}ponto:\,\,C(x_0,\,y_0)\\\\D=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

calculemos a reta suporte de AB, sabendo que conhecemos sua inclinação e dois pontos dela.

$\\ y=x+b\begin{cases}3=5+b\\2=4+b \end{cases}\,\,b=-2\,\,\to y=x+2\,\,ou\,\,{\color{blue} \fbox{x-y+2=0}}$

empregando a fórmula ficamos com a única incógnita que procuramos

$\\8\sqrt{2}=\frac{|1\times 2+(-1)\times {\color{red} k}+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}$

Você pode terminar agora.

por Bruno Barreto Sáb 31 Jul 2010, 22:40

Outra maneira mais simples,pela geometria analítica sabemos que :
$A=\frac{\left | Determinante \right |}{2}$
Calculando o determinante,temos:
$\begin{pmatrix} 5 &3 \\ 4&2 \\ 2&k \\ 5&3 \end{pmatrix}$
D = -k
Temos que A=8,daí vem:
$8=\frac{\left | -k \right |}{2}$
$\left | -k \right |=16$
Logo:K = 16 ou K = -16

por Filipe Luz Dom 01 Ago 2010, 09:12

Minha resposta pelo menos bateu com a do Bruno ! (obrigado pela ajuda também Bruno)

8(raiz 2)=-k /(raiz 2)
8(raiz 2).(raiz 2)=-k
8.(raiz 4)=-k
8.2=-k
k=-16

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Só não entendi uma coisa...como que você descobriu que a base era (raiz de 2) ?

A=b.h/2

8= (raiz 2) .h/2