Triângulo Isósceles ABC

por Hoshyminiag Ter 30 Set 2014, 22:55

Considere um triângulo ABC, onde AB = AC. Se a bissetriz do ângulo B intercepta AC em D, qual a medida do ângulo BÂC de modo que BD + AD = BC ?

R: 100º

por Hoshyminiag Sáb 04 Out 2014, 18:30

Alguém?

por **raimundo pereira** Sáb 04 Out 2014, 20:21

Em agosto já tentei e não consegui. Veja minha resol.
Ich arbeitete noch ein wenig , aber keine erfolg.

https://pir2.forumeiros.com/t74575-triangulo

por Hoshyminiag Sáb 04 Out 2014, 22:46

Procurei essa questão no fórum, e não havia achado. Na segunda, perguntarei ao meu professor e, em seguida, postarei a solução.

por spawnftw Dom 05 Out 2014, 21:06

questão interessante e difícil.
vou seguir o tópico.

por Hoshyminiag Seg 06 Out 2014, 20:41

Já tenho a solução em mãos. Amanhã, postá-la-ei. Vou tentar explicar (a questão é difícil de entender).

por Hoshyminiag Ter 07 Out 2014, 10:56

Desculpem-me. Eu sou muito ruim para mexer no GeoGebra. Tentei fazer uma figura ilustrativa:

Favor desconsiderar a altura numerada.
Copiem esse desenho (não usem as mesmas variáveis para os lados), desconsiderando aquele ponto D e sabendo que o A está no topo do triângulo ABC
Em vez de e3, use y + z (segmento AB)
BH = y + z
HC = x - z
BC = x + y
CI = z
FI = x
FC = z
FH = y
FB = x
AF = y (no desenho, está b)

Ângulos:
ABF = FBC = BIF = CFI = a
BFH = HFC = BFA = AFB = 3a
FHC = 4a
FCH = 2a

OBS: a questão considera BD como bissetriz. Eu estou considerando BF.

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Explicação:

Como AF = y e FC = z, e o triângulo é isósceles, podemos considerar que AB = y + z. Por ser bissetriz, o ângulo fica dividido em a e a. BFA = 3a
Trace um segmento FH, de modo que FH = y. Perceba que os triângulos FBH e AFB são congruentes (2 lados e um ângulo em comum). Assim, BF = y + z; BFH (o ângulo oposto ao lado y + z) medirá 3a; FHC = 4a.
Prolongue o segmento BC (mais próximo de C) até encontrar um ponto I, de maneira que CI = z. Trace o segmento FI. Perceba que se formou um triângulo isósceles FIC. Como ACB = 2a (o triângulo ABC é isósceles), os ângulos CIF e CFI são iguais e medem a. Olhe para o triângulo FHI (de lados x;y; x - z + z = x): ele é isósceles! Logo, se FHI mede 4a, o ângulo IFH deve medir o mesmo. Mas, como IFC = a, o ângulo HFC deve medir 3a.
Triângulo FHC:
3a + 4a + 2a = 180 .:. a = 20º
Olhe para o triângulo ABC, de lados 2a, 2a e Ω. Como a = 20º, 2a = 40º. Logo:
40 + 40 + Ω = 180 .:. Ω = 100º

Solução de um colega.