Produto em soma

O valor de (sen15°.cos165°)/(sen²20 + sen²70)

Resposta:  -1/4

(sen15°.cos165°)/(sen²20 + sen²70) =

= (-sen15º.cos15º)/(sen²20º + cos²20º) ................. *(2/2)

= -2.sen15º.cos15º/2 =

= -sen30º/2 = -(1/2)/2 = -1/4

(sen15°.cos165°)/(sen²20 + sen²70) reduzindos os ângulos ao primeiro quadrante fica :

(sen15°.(-cos 15°))/(sen²20° + cos²20°)

a relação fundamental (sen²a + cos²a = 1)diz que a soma dos quadrados dos seno e cosseno de um mesmo ângulo é igual a 1, logo sen²20° + cos²20° =1 , continuando à conta fica :
(sen15°.(-cos 15°))=

agora podemos usar duas propriedades.A primeira é sen2a=2sena.cosa -> sena.cosa=(sen2a/2) , logo 
-(sen15°.cos 15°)= -(sen2.15°)/2= -(sen 30°)/2 ->
-(1/2)/2= -1/4 . Pronto


Outra forma seria pela fórmula de reversão
sena.cosb=[sen(a+b) + sen(a-b)]/2
cosa.cosb=[cos(a+b) + cos(a-b)]/2
sena.senb= -[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

Que fica de exercício para você.