soma e produto

Seja x²+(q-3)x-q-2. O valor de q que torna mínima a soma dos quadrados das raízes da equação é:
resposta: 2

Relações de Girard:

x' + x'' = -b/a
x' . x'' = c/a

O que nos interessa é a soma dos quadrados das raízes, então:

(x' + x'')² = (-b/a)²

x'² + 2x'x'' + x''² = b²/a²

x'² + x''² = b²/a² - 2x'x''

~sabemos que o produto das raízes é igual a c/a, então:

x'² + x''² = b²/a² - 2c/a

x'² + x''² = (b² - 2ac)/a² -----> essa é a fórmula da soma dos quadrados das raízes

Então, na função:

f(x) x² + (q - 3)x - q - 2

a = 1
b = q - 3
c = -q - 2

~substituindo pela fórmula encontrada:

(q - 3)² - 2(1)(-q - 2)

q² - 6q + 9 +2q +4

q² - 4q + 13

~o mínimo de uma função, se dá através de -b/2a

-(-4)/2(1)

4/2 = 2

Obrigado, Cesconetto =]