Equações trigonométricas II

por jaques104 Seg 01 Set 2014, 23:56

Obter as soluções das equações abaixo no intervalo: [0, 2pi]

a) sen(4x) + cos(4x) = 1

por Igor Bragaia Ter 02 Set 2014, 19:22

sen(4x) + cos(4x) = 1
cos45ºsen(4x) + sen45ºcos(4x) = V2/2
sen(4x+45º)=sen45º
4x+45º=45º -> x=0
4x+45º=135º -> x=pi/8

por **ivomilton** Qua 03 Set 2014, 14:50

jaques104 escreveu:Obter as soluções das equações abaixo no intervalo: [0, 2pi]

a) sen(4x) + cos(4x) = 1

Boa tarde, jaques.

Para que a soma do seno com o cosseno de um mesmo ângulo seja igual a 1, será necessário que:
sen = 0 ou 1
cosseno = 1 ou 0

Ou seja, deve-se ter:
sen=0 com cos=1 — ou — sen=1 com cos=0

1ª possibilidade:
sen=0 → 4x=0° ou 4x=360°
cos=1 → 4x=0° ou 4x=360°

2ª possibilidade:
sen=1 → 4x=90°
cos=0 → 4x=90° ou 4x=270°

Assim, as soluções possíveis são:
4x=0° → x=0°
4x=360° → x=90°
4x=90° → x=22°30'

Um abraço.

por **Euclides** Qua 03 Set 2014, 15:01

São nove soluções:

$\\\sin(4x)+\cos(4x)=1\\\sin^2(4x)+\cos^2(4x)+2\sin(4x)\cos(4x)=1\\2\sin(4x)\cos(4x)=0\\\sin(8x)=0\\\\\;\to\;\begin{cases} x=0, \;2\pi\\x=\frac{\pi}{8},\;\;\frac{\pi}{2},\;\;\frac{5\pi}{8},\;\;\pi,\;\;,\frac{9\pi}{8},\;\;\frac{3\pi}{2},\;\;\frac{13\pi}{8}\;\;\end{cases}$

por jaques104 Qua 03 Set 2014, 15:28

Euclides escreveu:Há uma terceira solução

$\\\sin(4x)+\cos(4x)=1\\\sin^2(4x)+\cos^2(4x)+2\sin(4x)\cos(4x)=1\\2\sin(4x)\cos(4x)=0\\\sin(8x)=0\\\\\;\to\;\begin{cases} x=0\\x=\frac{\pi}{8}\end{cases}$

Entendi Euclides, porém a questão pede todas as soluções no intervalo [0, 2pi] ai teríamos que fazer: 8x = 0 + 2kpi, x= kpi/4 ou x= (pi + 2kpi)/8 | k e Z e substituindo os valores de K até acharmos todas as soluções nesse intervalo.. não estou certo?

por **Euclides** Qua 03 Set 2014, 15:35

Na verdade, são nove soluções. Editei acima.

por jaques104 Qua 03 Set 2014, 15:48

Muito obrigado, abraços!

por Luck Qua 03 Set 2014, 16:15

Completando a solução do Igor:
cos(pi/4)sen(4x) + sen(pi/4)cos(4x) = √2/2
sen(4x+(pi/4)) = √2/2
4x + (pi/4) = pi/4 + 2kpi ou 4x + (pi/4) = 3pi/4 + 2kpi
x = kpi/2 ou x = (pi/8) + (kpi/2) , k ∈ Z

para x = kpi/2 , temos:
x : 0 , pi/2 , pi, 3pi/2 , 2pi

x = (pi+4kpi)/8 :
x : pi/8 , 5pi/8 , 9pi/8 , 13pi/8